This is the third volume of the series "Moderne Stochastik" (Modern Stochastics). As a follow-up to the volume "Wahrscheinlichkeit" (Probability Theory) it gives an intrdouction to dynamical aspects of probability theory using stochastic processes in discrete time. The first part of the book covers discrete martingales - their convergenc behaviour, optional sampling and stopping, uniform integrability and essential martingale inequalities. The power of martingale techniques is illustrated in the chapters on applications of martingales in classical probability and on the Burkholder-Davis-Gundy inequalities. The second half of the book treats random walks on Zd and Rd, their fluctuation behaviour, recurrence and transience. The last two chapters give a brief introduction to probabilistic potential theory and an outlook of further developments: Brownian motion and Donsker's invariance principle

**Contents
** Fair Play
Conditional Expectation
Martingale
Stopping and Localizing
Martingale Convergence
L 2 -Martingales
Uniformly Integrable Martingales
Some Classical Results of Probability
Elementary Inequalities for Martingales
The BurkholderDavisGundy Inequalities
Random Walks on d the first steps
Fluctuations of Simple Random Walks on Z
Recurrence and Transience of General Random Walks
Random Walks and Analysis
Donsker's Invariance Principle and Brownian Motion

Autorentext

René L. Schilling, Technische Universität Dresden.

Klappentext

Dieser Band ist der dritte Teil der "Modernen Stochastik". Als Fortsetzung der "Wahrscheinlichkeit" werden nun dynamische stochastische Phänomene anhand stochastischer Prozesse in diskreter Zeit betrachtet. Die erste Hälfte des Buchs gibt eine Einführung in die Theorie der diskreten Martingale - ihr Konvergenzverhalten, optional sampling & stopping, gleichgradige Integrierbarkeit und Martingalungleichungen. Die Stärke der Martingaltechniken wird in den Kapiteln über Anwendungen in der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und über die Burkholder-Davis-Gundy-Ungleichungen illustriert. Die zweite Hälfte des Buchs beschäftigt sich mit Irrfahrten auf dem Gitter d und auf d, ihrem Fluktuationsverhalten, Rekurrenz und Transienz. Die letzten beiden Kapitel geben einen Einblick in die probabilistische Potentialtheorie sowie einen Ausblick auf die Brownsche Bewegung: Donskers Invarianzprinzip. Contents Fair Play Bedingte Erwartung Martingale Stoppen und Lokalisieren Konvergenz von Martingalen L2-Martingale Gleichgradig integrierbare Martingale Einige klassische Resultate der W-Theorie Elementare Ungleichungen für Martingale Die Burkholder-Davis-Gundy Ungleichungen Zufällige Irrfahrten auf d - erste Schritte Fluktuationen einer einfachen Irrfahrt auf Rekurrenz und Transienz allgemeiner Irrfahrten Irrfahrten und Analysis Donskers Invarianzprinzip und die Brownsche Bewegung