Algebra aller Anfang ist leicht

"Gebranntes Kind scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit man rechnet, sondern vielmehr wie man rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

Autorentext
Kästner, Herbert, geb. 1936, ist Mathematiker. Nach Abschluß des Studiums von 1958 bis 2001 war er Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universität Leipzig mit Lehr- und Forschungsaufgaben auf den Gebieten Algebra und Zahlentheorie. Er ist Herausgeber und Autor bei den Verlagen Enzyklopädie Leipzig, Bibliographisches Institut und B.G. Teubner. 1966 erhielt er den Nationalpreis für Wissenschaft und Technik.
Als Bibliophile im Vorstand des Leipziger Bibliophilen-Abends (seit 1988 Vorsitzender) und Herausgeber der bibliophilen Drucke der Vereinigung.

Klappentext

"Gebranntes Kind scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit man rechnet, sondern vielmehr wie man rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

Inhalt

1. Mengen.- 1.1. Begriff der Menge.- 1.2. Gleichheit von Mengen.- 1.3. Teilmengen.- 1.4. Mengenoperationen.- 1.5. Kartesisches Produkt.- 1.6. Abbildungen und Funktionen.- 1.7. Zerlegung einer Menge in Klassen.- 1.8. Begriff der Mächtigkeit.- 1.9. Aufgaben.- 2. Relationen ..- 2.1. Begriff der Relation.- 2.2. Eigenschaften von Relationen.- 2.3. Äquivalenzrelationen.- 2.4. Ordnungsrelationen.- 2.5. Aufgaben.- 3. Operationen.- 3.1. Begriff der Operation.- 3.2. Eigenschaften von Operationen.- 3.3. Elemente mit speziellen Eigenschaften.- 3.4. Kongruenzrelationen.- 3.5. Aufgaben.- 4. Algebraische Strukturen.- 4.1. Gruppe, Ring und Körper.- 4.2. Einfache Folgerungen aus den Axiomensystemen.- 4.3. Strukturverträgliche Abbildungen.- 4.4. Abgeleitete Strukturen.- 4.5. Aufgaben.- Nachbemerkung.- Lösungshinweise.