Wahrscheinlichkeitstheorie

Der vorliegende Hochschultext entstand aus Vorlesungen tiber Wahr scheinlichkeitstheorie an der Ruhr-Universitat Bochurn. GegenUber dem unter dem Titel "Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie" im Bochurner Studienverlag Brockmeyer 1975 erschienenen Vorlesungsskrip tum ist die jetzige Fassung methodisch liberarbeitet und fast urn das Doppelte erweitert worden. In dem Bemlihen, dem jeweiligen Kenntnisstand der Studenten entgegen zukommen, wurden die Vorlesungen mit unterschiedlich gesetzten Schwer punk ten abgehalten. Auf diese Weise entstanden im Laufe der Zeit verschiedene Manuskripte, bei deren Abfassung sich der erste Autor auf Vorlesungen seiner verehrten Lehrer K. Krickeberg (Paris) und J. Pfanzagl (Keln) stlitzen konnte, was insbesondere im flinften Kapitel zum Ausdruck kommt. Die Abfassung von Abschnitt 3.1 sowie die sonstigen mehr maBtheoretischen Teile im achten Kapitel wurden wesentlich durch Diskussionen mit F. Tops~e (Kopenhagen) beeinfluBt. Kapitel I wurde gepr~gt durch Vorlesungsskripten zur MaBtheorie unseres frliheren Bochumer Kollegen und Lehrers H.G. Kellerer (Mlinchen). Den Herren Dr. W. Adamski, Dipl.-Math. W. Hummitzsch und Dipl.-Math. J. Strobel sind wir zu groBem Dank verpflichtet. Sie haben wertvolle Anregungen beigesteuert und uns beim Lesen der Korrekturen untcr stiitzt. Herr Hummitzsch hat auBcrdem den Zcichenindex und das Namen und Sachregister angefertigt. Als besonders erfreulich empfanden wir stets die Impulse, die von studentischer Seite kamen und uns halfen, Fehler zu entdecken und frlihere Entwlirfe methodisch zu verbessern.

Inhalt
0. Grundlegende Definitionen und Hilfsmittel.- 0.1 Logische Kürzel, Abkürzungen.- 0.2 Mengen und Mengenoperationen.- 0.3 Zahlenmengen.- 0.4 Zahlenfolgen.- 0.5 Mengenfolgen.- 0.6 Abbildungen.- 0.7 Beziehungen zwischen Mengen und Indikatorvariablen.- 0.8 Topologische Begriffe und Bezeichnungen.- 0.9 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen.- 0.10 Der Satz von Hahn-Banach.- I. Maßtheoretische Hilfsmittel und Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.- 1.1 Mengensysteme.- 1.2 Meßbare Abbildungen.- 1.3 Produkträume.- 1.4 Konstruktion von Maßen.- 1.5 Inneres und äußeres Maß.- 1.6 Übergang vom Maß zum Integral.- 1.7 µ-fast überall Eigenschaften.- 1.8 Übergangs- und Produktwahrscheinlichkeiten.- 1.9 Der Satz von Ionescu Tulcea.- 1.10 Verteilungen und Verteilungsfunktionen.- 1.11 P-fast sichere und P-stochastische Konvergenz.- 1.12 Verteilungskonvergenz.- 1.13 Konvergenz im p-ten Mittel.- 1.14 Gleichgradige Integrierbarkeit.- 1.15 Unabhängigkeit.- 1.16 Null-Eins-Gesetze.- 1.17 Charakteristische Funktionen.- 1.18 Stochastische Ungleichungen.- 1.19 Normalverteilungen.- 1.20 Laplace-Transformierte.- II. Gesetze der großen Zahlen.- 2.1 Das schwache Gesetz der großen Zahlen.- 2.2 Der Kolmogoroffsehe Dreireihensatz.- 2.3 Das starke Gesetz der großen Zahlen.- III. Empirische Verteilungen.- 3.1 Uniforme Klassen.- 3.2 Gleichmäßige Konvergenz empirischer Verteilungen.- 3.3 Eindimensionale empirische Verteilungen.- IV. Der zentrale Grenzwertsatz.- 4.1 Der zentrale Grenzwertsatz.- 4.2 Der Satz von Berry-Esseen.- 4.3 Der zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz vom iterierten Logarithmus.- V. Bedingte Erwartungen und bedingte Verteilungen.- 5.1 Spezielle bedingte Erwartungen.- 5.2 Allgemeine Definition und grundlegende Eigenschaften bedingter Erwartungen.- 5.3 Regulärebedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 5.4 Die Jensensche Ungleichung.- VI. Martingale.- 6.1 Martingale und Sub-Martingale.- 6.2 Das Optional Sampling Theorem.- 6.3 Stopzeiten und Transformation durch Stopzeiten.- 6.4 Martingalkonvergenzsätze.- 6.5 Inverse Martingale und Inverse Sub-Martingale.- 6.6 Stochastische Ungleichungen für Martingale und Sub-Martingale 22.- 6.7 Gesetze der großen Zahlen für nichtnegative Sub-Martingale und MDF.- 6.8 Ein Gesetz vom iterierten Logarithmus für Sub-Martingale mit einer Anwendung auf die Konvergenz empirischer Verteilungen.- 6.9 U-Statistiken.- 6.10 Anwendungen in der Sequentialanalyse.- VII. Stochastische Prozesse.- 7.1 Allgemeine Existenzaussagen (Satz von Kolmogoroff).- 7.2 Maße in Funktionenräumen X?RI, I = [0,1].- 7.3 Maße in Funktionenräumen X?RT, T?[0,?].- 7.4 Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen.- 7.5 Der Poissonsche Prozeß.- 7.6 Der Brownsche Bewegungsprozeß.- VIII. Zufallselemente in metrischen Räumen.- 8.1 Einige allgemeine Eigenschaften von Zufallselementen.- 8.2 Konvergenzbegriffe für Zufallselemente in metrischen Räumen.- 8.3 Ein Gesetz der großen Zahlen für Zufallselemente in einem separablen Banachraum.- 8.4 Schwache Konvergenz.- 8.5 Zwei Konvergenzsätze von Wichura.- 8.6 Die Cramerschen Sätze.- 8.7 Die Sätze von Levy-Cramer und Cramer-Wold.- 8.8 Der klassische mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz.- IX. Zentrale Grenzwertsätze für Martingaldifferenzschemata.- 9.1 Die konditionierte Lindeberg-Bedingung.- 9.2 Ein zentraler Grenzwertsatz für Martingaldifferenzschemata.- 9.3 Das Lindeberg-Levy Theorem für Martingale.- X. Invarianzprinzipien.- 10.1 Ein Invarianzprinzip für den Partialsummenprozeß.- 10.2 Ein Invarianzprinzip für den empirischen Prozeß.- 10.3 Ein Invarianzprinzipfür U-Statistiken.- 10.4 Starke Approximationen für Partialsummen unabhängiger identisch verteilter Variabler.- Formelanhang.- Zeichenindex.- Sach- und Namenregister.