Algebra

Important though the general concepts and propositions may be with which the modem and industrious passion for axiomatizing and generalizing has presented us, in algebra perhaps more than anywhere else, nevertheless I am convinced that the special problems in all their complexity constitute the stock and core of mathematics, and that to master their difficulties requires on the whole the harder labor. HERMANN WEYL Die Arbeit an diesem Buch begann vor etwa zwanzig Jahren mit Aufzeichnungen zur Ergänzung meiner Algebravorlesungen. Ich wollte einige konkrete Themen, wie Symmetrie, lineare Gruppen und quadratische Zahlkörper, ausführlicher be handeln als dies im vorgesehenen Text der Fall war, und darüberhinaus wollte ich den Schwerpunkt in der Gruppentheorie von den Permutationsgruppen auf Matrixgruppen verlagern. Ein anderes ständig wiederkehrendes Thema, nämlich Gitter, sind spontan aufgetaucht. Ich hoffte, der konkrete Stoff könne das Interesse der Studenten wecken und gleichzeitig die Abstraktionen verständlicher machen, kurz gesagt, sie sollten weiter kommen, indem sie beides gleichzeitig lernten. Das bewährte sich gut. Es dauerte einige Zeit, bis ich entschieden hatte, welche Themen ich behandeln wollte, und allmählich verteilte ich mehr und mehr Aufzeichnungen und ging schließlich dazu über, die ganze Vorlesung mit diesem Skript zu bestrei ten. Auf diese Weise ist ein Buch entstanden, das, wie ich meine, etwas anders ist als die existierenden Bücher. Allerdings haben mir die Probleme, die ich damit hatte, die einzelnen Teile des Buches zu einem Ganzen zusammenzufügen, einige Kopfschmerzen bereitet; ich kann also nicht empfehlen, auf diese Art anzufangen, ein Buch zu schreiben.

Inhalt
1 Matrizen.- 1. Matrizenkalkül.- 2. Zeilenreduktion.- 3. Determinanten.- 4. Permutationsmatrizen.- 5. Cramersche Regel.- Aufgaben.- 2 Gruppen.- 1. Die Definition einer Gruppe.- 2. Untergruppen.- 3. Isomorphismen.- 4. Homomorphismen.- 5. Äquivalenzrelationen und Partitionen.- 6. Nebenklassen.- 7. Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen.- 8. Produkte von Gruppen.- 9. Rechnen mit Kongruenzen.- 10. Faktorgruppen.- Aufgaben.- 3 Vektorräume.- 1. Reelle Vektorräume.- 2. Abstrakte Körper.- 3. Basen und Dimension.- 4. Rechnen mit Basen.- 5. Unendlichdimensionale Vektorräume.- 6. Direkte Summen.- Aufgaben.- 4 Lineare Abbildungen.- 1. Die Dimensionsformel.- 2. Lineare Abbildungen und Matrizen.- 3. Endomorphismen und Eigenvektoren.- 4. Das charakteristische Polynom.- 5. Orthogonale Matrizen und Drehungen.- 6. Diagonalisierbarkeit.- 7. Systeme von Differentialgleichungen.- 8. Die Exponentialabbildung für Matrizen.- Aufgaben.- 5 Symmetrie.- 1. Symmetrie ebener Figuren.- 2. Die Bewegungsgruppe der Ebene.- 3. Endliche Gruppen von Bewegungen.- 4. Diskrete Gruppen von Bewegungen.- 5. Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen.- 6. Die Operation auf Nebenklassen.- 7. Zerlegen und Zählen.- 8. Permutationsdarstellungen.- 9. Endliche Untergruppen der Drehgruppe.- Aufgaben.- 6 Mehr Über Gruppen.- 1. Operationen einer Gruppe auf sich.- 2. Klassengleichung der Ikosaedergruppe.- 3. Operationen auf Teilmengen.- 4. Die Sylowschen Sätze.- 5. Die Gruppen der Ordnung 12.- 6. Rechnen in der symmetrischen Gruppe.- 7. Die freie Gruppe.- 8. Erzeugende und Relationen.- 9. Der ToddCoxeterAlgorithmus.- Aufgaben.- 7 Bilinearformen.- 1. Definition einer Bilinearform.- 2. Symmetrische Bilinearformen.- 3. Geometrie und positiv definite Bilinearformen.- 4. Hermitesche Formen.- 5. DerSpektralsatz.- 6. Kegelschnitte und Quadriken.- 7. Der Spektralsatz für normale Endomorphismen.- 8. Schiefsymmetrische Bilinearformen.- 9. Zusammenfassung der Ergebnisse für Matrizen.- Aufgaben.- 8 Lineare Gruppen.- 1. Klassische lineare Gruppen.- 2. Die spezielle unitäre Gruppe SU2.- 3. Die orthogonale Darstellung von SU2.- 4. Die spezielle lineare Gruppe SL2(?).- 5. Einparameteruntergruppen.- 6. LieAlgebren.- 7. Translation in einer Gruppe.- 8. Einfache Gruppen.- Aufgaben.- 9 Darstellungen Von Gruppen.- 1. Definition einer Darstellung.- 2. Invariante Formen und unitäre Darstellungen.- 3. Kompakte Gruppen.- 4. Invariante Unterräume und irreduzible Darstellungen.- 5. Charaktere.- 6. Permutationsdarstellungen und die reguläre Darstellung.- 7. Darstellungen der Ikosaedergruppe.- 8. Eindimensionale Darstellungen.- 9. Das Schursche Lemma und der Beweis der Orthogonalitätsrelationen.- 10. Darstellungen der Gruppe SU2.- Aufgaben.- 10 Ringe.- 1. Definition eines Ringes.- 2. Formale Konstruktion von ganzen Zahlen und Polynomen.- 3. Homomorphismen und Ideale.- 4. Restklassenringe und Relationen in einem Ring.- 5. Adjunktion von Elementen.- 6. Integritätsbereiche und Quotientenkörper.- 7. Maximale Ideale.- 8. Algebraische Geometrie.- Aufgaben.- 11 Faktorzerlegung.- 1. Faktorzerlegung von ganzen Zahlen und Polynomen.- 2. Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe.- 3. Das Gaußsche Lemma.- 4. Explizite Zerlegung von Polynomen.- 5. Primelemente im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen.- 6. Ganze algebraische Zahlen.- 7. Faktorzerlegung in imaginär-quadratischen Zahlkörpern.- 8. Faktorzerlegung von Idealen.- 9. Der Zusammenhang zwischen Primidealen und Primzahlen.- 10. Idealklassen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern.- 11. ReellquadratischeZahlkörper.- 12. Einige diophantische Gleichungen.- Aufgaben.- 12 Moduln.- 1. Die Definition eines Moduls.- 2. Matrizen, freie Moduln und Basen.- 3. Das Prinzip der universellen Gültigkeit von Identitäten.- 4. Diagonalisierbarkeit von ganzzahligen Matrizen.- 5. Erzeugende und Relationen für Moduln.- 6. Der Struktursatz für abelsche Gruppen.- 7. Anwendung auf Endomorphismen von Vektorräumen.- 8. Freie Moduln über Polynomringen.- Aufgaben.- 13 Körper.- 1. Beispiele von Körpern.- 2. Algebraische und transzendente Elemente.- 3. Der Grad einer Körpererweiterung.- 4. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 5. Symbolische Adjunktion von Nullstellen.- 6. Endliche Körper.- 7. Funktionenkörper.- 8. Transzendente Erweiterungen.- 9. Algebraisch abgeschlossene Körper.- Aufgaben.- 14 Galoistheorie.- 1. Der Hauptsatz der Galoistheorie.- 2. Kubische Gleichungen.- 3. Symmetrische Funktionen.- 4. Primitive Elemente.- 5. Beweis des Hauptsatzes.- 6. Gleichungen vierten Grades.- 7. Kummersche Erweiterungen.- 8. Kreisteilungserweiterungen.- 9. Gleichungen fünften Grades.- Aufgaben.- Anhang Vorkenntnisse.- 1. Mengenlehre.- 2. Beweistechniken.- 3. Topologie.- 4. Der Satz über implizite Funktionen.- Aufgaben.