Seit DrcKsoNs Algebren und ihre Zahlentheorie erschien (1927), hat die Theorie der Algebren Fortschritte gemacht, die eine neue Ubersicht Bestand der Theorie angebracht erscheinen lassen. Die neue iiber den Entwicldung kann in drei - vielfach verflochtene - Richtungen ge teilt werden. Von A. A. ALBERT, R. BRAUER und E. NOETHER wurde die Struktur der einfachen Algebren (Matrizesringe iiber Divisions algebren) erforscht; im Zusammenhang damit steht die Theorie der Faktorensysteme (R. BRAUER, E. NOETHER). Zweitens hat die Arith metik der Algebren durch die Arbeiten von BRANDT, SPEISER, ARTIN entscheidende Antriebe erhalten. Dnd schlieBlich haben HASSE und NOETHER den Zusammenhang der Arithmetik der Zahlkorper (Klassen korpertheorie und Reziprozitatsgesetz, Hauptgeschlechtssatz) mit den Algebren erkannt; auch Arbeiten von (HEV ALLEY und von DEURING iiber Normenreste gehoren hier her. Diese Einteilung der Entwicldung liegt der Einteilung dieses Be richtes zugrunde. Teil I und II enthalten die allgemeine Theorie bis zu den WEDDERBuRNschen Struktursatzen (die in der allgemeinsten bekannten Fassung bewiesen werden). Teil III ist ein kurzer Uber blick tiber die Darstellungstheorie. Teil IV enthalt die neuere Struktur theorie der einfachen Algebren; Teil V die daran anschlieBende Theorie der Faktorensysteme; Teil VI die allgemeine Arithmetik der Algebren. 1m letzten Teil wird der tiefere Zusammenhang der Algebren mit der Theorie der algebraischen Zahlen entwickelt. Dem Zweck der Sammlung, von der dieser Bericht ein Teil ist, habe ich dadurch gerecht zu werden geglaubt, daB ich eine zwar knappe, aber vollstandige Darstellung der Theorie in ihren Hauptztigen gegeben mit Hinweisen auf die dazu gehorende Literatur.

Inhalt
I. Grundlagen.- § 1. Grundbegriffe.- § 2. Ideale. Direkte Summe. Direktes Produkt. Erweiterung des Grundkörpers.- § 3. Das Zentrum.- § 4. Allgemeines Element. Rangpolynom. Hauptpolynom.- II. Die Struktursätze.- § 1. Überblick.- § 2. Hilfssätze über Ringe.- § 3. Radikal. Halbeinfache und halbprimäre Ringe.- § 4. Peircesche Zerlegungen.- § 5. Der erste Struktursatz.- § 6. Zerlegung halbprimärer Ringe in direkt unzerlegbare Linksideale.- § 7. Zerlegung der halbeinfachen Ringe in einfache.- § 8. Zerlegung der halbprimären Ringe in primäre.- § 9. Struktur der primären und der einfachen Ringe.- § 10. Verhalten des Zentrums.- § 11. Algebren mit Radikal.- III. Darstellungen der Algebren durch Matrizes.- § 1. Darstellungen und Darstellungsmoduln.- § 2. Darstellungen von Algebren.- § 3. Erweiterung des Grundkörpers.- § 4. Spuren und Normen.- § 5. Diskriminanten.- IV. Einfache Algebren.- § 1. Sätze über Moduln in Schiefkörpern.- § 2. Verhalten einfacher Algebren bei Erweiterung des Grundkörpers. Struktur der direkten Produkte einfacher Algebren.- § 3. Grundkörpererweiterung bei Körpern. Galoissche Theorie.- § 4. Einfache Algebren.- § 5. Abspaltungskörper und Zerfällungskörper bei beliebigen Algebren.- § 6. Divisionsalgebren über Galoisfeidern und reell abgeschlossenen Körpern.- § 7. Rangpolynome, Hauptpolynome, Spuren und Normen bei einfachen Algebren.- V. Faktorensysteme.- § 1. Faktorensysteme und Transformationsgrößen.- § 2. Der Multiplikationssatz.- § 3. Die Brauersche Gruppe.- § 4. Erweiterung des Grundkörpers. Teilkörper als Zerfällungskörper.- § 5. Zyklische Algebren.- § 6. Die Gruppe der Transformationsgrößen.- § 7. Reduktion der Faktorensysteme auf Einheitswurzeln.- VI. Theorie der ganzen Größen.- § 1.Ganze Größen, Ordnungen, Ideale.- § 2. Die normalen Ideale.- § 3. Struktur des Restklassenringes nach einem zweiseitigen Ideal.- § 4. Normen der Ideale.- § 5. Komplementäre Ideale. Differenten.- § 6. Die Diskriminante einer Maximalordnung.- § 7. Einheiten.- § 8. Idealklassen.- § 9. Algebren mit der Klassenzahl 1.- § 10. Bewertete Ringe.- § 11. p-adische Erweiterungen der Algebren.- § 12. Die Zerlegung der Primideale.- VII. Algebren über Zahlkörpern. Zusammenhang mit der Arithmetik der Körper.- § 1. Hilfssätze über Galoisfeider und p-adische Zahlkörper.- § 2. p-adische Algebren.- § 3. Unendliche Primstellen von Zahlkörpern.- § 4. Der Übergang zu den Primstellen.- § 5. Algebren über Zahlkörpern.- § 6. Beweis des Reziprozitätsgesetzes. Normenreste.- § 7. Der allgemeine Hauptgeschlechtssatz.- § 8. Die Zetafunktion einer Algebra.- § 9. Quaternionenalgebren.- § 10. Algebren über Funktionenkörpern.