Funktionentheorie in der Ebene und im Raum

Die Funktionentheorie einer komplexen Variablen hat heute höher-dimensionale Analoga: dabei wird die Algebra der komplexen Zahlen durch die nicht-kommutative Algebra der reellen Quaternionen bzw. Clifford-Algebren ersetzt. In den letzten 30 Jahren hat sich die so genannte Quaternionen- und die reelle Clifford-Analysis erfolgreich entwickelt. Eine Vielzahl von Anwendungen haben diese Funktionentheorie höher-dimensionaler Variablen zu einem wichtigen Instrument der Analysis und deren Anwendungen in der mathematischen Physik werden lassen.

Das Buch reflektiert den neuesten Stand der Forschung und entwickelt sowohl die höher-dimensionalen Ergebnisse als auch die klassischen komplexen Resultate aus einem einheitlichen Begriff der Holomorphie. Der fundamentale Begriff der holomorphen Funktion als Lösung des Cauchy-Riemann-Systems wird im Höher-dimensionalen unter Beibehaltung der Bezeichnung als Lösung eines entsprechenden Systems partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung verstanden.

Historische Bemerkungen, zahlreiche Beispiele, viele Abbildungen sowie eine angemessene Auswahl von Übungsaufgaben festigen und erweitern die erworbenen Kenntnisse.

Das vorliegende Buch ist für Studenten der Mathematik, Physik und mathematisch orientierten Ingenieurstudenten im Grund- und Fachstudium geeignet. Es kann auch als Grundlage von Proseminaren oder Seminaren dienen.

Die beiliegende CD enthält eine umfangreiche Literaturdatenbank sowie ein Maple-Package, das die im Buch eingeführten Werkzeuge und Methoden als Kommandos bzw. vorgefertigte Prozeduren enthält. Einige Beispiel-Worksheets unterstützen die Einarbeitung in das Package.

Zum ersten Mal stellt hier ein Lehrbuch wesentliche Elemente in einheitlicher Darstellung für die universitäre Lehre bereit. Es zeigt sowohl die klassische Funktionentheorie (der komplexen Ebene) als auch ihre höherdimensionalen Verallgemeinerungen (unter Benutzung von Quaternionen und, allgemeiner, Clifford-Zahlen). Berücksichtigt sind sowohl analytische, geometrische als auch numerische Aspekte. Aufgaben am Ende jedes Abschnittes unterstützen Leser bei der Einarbeitung. Die Verwendung der (Schief-) Körperstruktur der reellen Quaternionen gestattet es, manche Aussagen präziser und leserfreundlicher als in allgemeinen Clifford-Algebren zu formulieren. Das Buch dient als Grundlage einführender Vorlesungen, Proseminare oder Seminare; es vermittelt elementare Kenntnisse und betrachtet ebenso moderne Forschungsrichtungen.

Die beiliegende CD enthält eine umfangreiche Literaturdatenbank sowie Beispiele für numerische Anwendungen.

Inhalt
Zahlen.- Komplexe Zahlen.- Quaternionen.- Clifford-Zahlen.- Funktionen.- Topologische Aspekte.- Holomorphe Funktionen.- Potenzen und Möbiustransformationen.- Integration und Integralsätze.- Integralsätze und Integralformeln.- Teodorescu-Transformation.- Reihenentwicklungen und lokales Verhalten.- Potenzreihen.- Orthogonalentwicklungen in ?.- Elementare Funktionen.- Lokale Struktur holomorpher Funktionen.- Spezielle Funktionen.