Ganz egal, was Sie machen wollen, bei Mathematik führt ab einem gewissen Niveau kein Weg an der Vektor- und Matrizenrechnung vorbei. Karsten Kirchgessner und Marco Schreck führen Sie in dieses Thema ein. Sie erklären Ihnen, was Vektoren und Matrizen überhaupt sind und wie Sie möglichst unkompliziert mit ihnen rechnen. Außerdem lernen Sie, was Sie über Eigenwerte und Eigenvektoren wissen sollten, wie Sie lineare Gleichungssysteme lösen und vieles mehr.

Autorentext
Karsten Kirchgessner arbeitet seit über vier Jahren als Tutor für höhere Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT).
Marco Schreck promovierte am KIT und blickt auf eine langjährige Lehrerfahrung in der theoretischen Physik zurück.

Klappentext

Was Sie wissen müssen - von Abbildungsmatrix bis Zylinderkoordinaten

Ganz egal, was Sie machen wollen, in der Mathematik führt ab einem gewissen Niveau kein Weg an der Vektorund Matrizenrechnung vorbei. Karsten Kirchgessner und Marco Schreck führen Sie in dieses Thema ein. Sie erklären Ihnen, was Vektoren und Matrizen überhaupt sind und wie Sie möglichst unkompliziert mit ihnen rechnen. Außerdem erfahren Sie, was Sie über Eigenwerte und Eigenvektoren wissen sollten, wie Sie lineare Gleichungssysteme lösen und vieles mehr. So lernen Sie pfeilschnell, in diese Tiefen der Mathematik einzudringen. Besonderer Wert wird hierbei auf geschickte Ansätze und Tricks gelegt, die den Rechenaufwand und Komplexitätsgrad einer Aufgabenstellung reduzieren, sodass Sie insbesondere in Prüfungen so schnell wie möglich zur korrekten Lösung gelangen.

Zusammenfassung
Ganz egal, was Sie machen wollen, bei Mathematik führt ab einem gewissen Niveau kein Weg an der Vektor- und Matrizenrechnung vorbei. Karsten Kirchgessner und Marco Schreck führen Sie in dieses Thema ein. Sie erklären Ihnen, was Vektoren und Matrizen überhaupt sind und wie Sie möglichst unkompliziert mit ihnen rechnen. AuÃerdem lernen Sie, was Sie über Eigenwerte und Eigenvektoren wissen sollten, wie Sie lineare Gleichungssysteme lösen und vieles mehr.

Inhalt

Einleitung 19

Konventionen in diesem Buch 19

Törichte Annahmen über den Leser 20

Was Sie in diesem Buch finden 20

Was Sie in diesem Buch nicht finden 20

Wie dieses Buch aufgebaut ist 20

Teil I: Einführung 21

Teil II: Vektorrechnung 21

Teil III: Matrizen 21

Teil IV: Lineare Gleichungssysteme 21

Teil V: Der Top-Ten-Teil 22

Spickzettel 22

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22

Wie es weitergeht 22

Teil I
Einführung 23

Kapitel 1
Motivation 25

Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearen

Gleichungssysteme 25

Vektoren in Theorie und Praxis 26

Matrizen in Schule, Studium und Beruf 27

Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einem behilflich sind 28

Kapitel 2
Vektorrechnung 31

Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? 31

Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten eines Vektors 33

Der Betrag eines Vektors 36

Beispiele 37

Einheitsvektoren - Voll normal! 38

Rechnen mit Vektoren 40

Addition und Subtraktion von Vektoren 40

Multiplikation von Vektoren mit Zahlen 45

Linearkombination von Vektoren als 'Pfeile' 47

Differenzvektoren 48

Vektoren in der analytischen Geometrie 49

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks 49

Zum Halten von Lasten 51

Kapitel 3
Matrizen 55

Definition und Form von Matrizen 55

Rechnen mit Matrizen - mehr als nur ein Haufen Zahlen! 57

Addition und Subtraktion von Matrizen 57

Multiplikation von Matrizen 58

Invertieren von Matrizen 60

So sieht sich eine Matrix im Spiegel 60

Der Stammbaum der Matrizen 63

Reelle und komplexe Matrizen 63

Quadratische und nicht-quadratische Matrizen 64

Reguläre und singuläre Matrizen 64

Symmetrische und hermitesche Matrizen 64

Orthogonale und unitäre Matrizen 66

Dreiecksmatrizen 67

Noch speziellere Matrizen... 68

Matrizen bei der Arbeit 68

Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen 71

Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen 71

Kapitel 4
Lösen von linearen Gleichungssystemen 73

Matrixschreibweise für lineare Gleichungssysteme 73

Links- und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! 77

Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems 81

Teil II
Vektorrechnung 83

Kapitel 5
Vektor mal Vektor = ??? 85

Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl 85

Definition und Schreibweisen 85

Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp 86

Geometrische Bedeutung - endlich wird es anschaulich! 88

Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? 91

Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor 94

Definition und Schreibweise 94

Nützliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp 94

Geometrische Bedeutung - endlich wird's wieder anschaulich! 95

Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? 96

Das Spatprodukt - und was ist bitte ein Parallelepiped? 100

Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix 102

Definition und Schreibweise 102

Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonaler Einheitsvektoren 102

Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektoren

in drei Dimensionen 103

Kapitel 6
Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren ... 105

Unser Koordinatensystem ist das Gerüst der Vektor-Welt 105

Kartesische Koordinatensysteme - hier steht alles senkrecht! 105

Beispiele für kartesische Koordinatensysteme 106

Polarkoordinaten - krumme Linien in der Ebene?! 109

Zylinderkoordinaten - Hut ab für die dritte Dimension! 115

Kugelkoordinaten - eine runde Sache 118

Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel! 122

Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? 122

Beispiele für Basen 124

Basistransformationen - aus Alt mach Neu 125

Jetzt geht's rund - wir drehen die Basis! 127

Kapitel 7
Analytische Geometrie - mehr als nur ein paar Bauklötze! 135

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 135

Der Vektorzug fährt ein... 135

Parallele und antiparallele Vektoren 136

Anwendungsaufgabe zur linearen Abhängigkeit von Vektoren 137

Darstellung von Geraden und Ebenen 139

Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! 139

Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht! 142

Zusammenfassung 144

Der Klassiker: Schnitte und Abstände von Geraden und Ebenen 144

Schnitte von Geraden mit Ebenen 144

Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade 146

Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung 147

Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene in Normalenform 148

Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen 149

Parallele und windschiefe Geraden 151

Wir verlassen das Flachland und bauen Körper aus Ebenen 155

Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung 155

Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 1:

Wir bauen uns einen Tetraeder 157

Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 2:

Wie viel Farbe benötigt man, um einen Dodekaeder anzumalen? 160

Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung 166

Die Kugelgleichung 166

Tangentialebenen 167

Schnitt von Kugeln mit Ebenen 168

Kapitel 8
Funktionenräume 171

Können Funktionen Vektoren sein? 171

Ein Skalarprodukt für Funktionen 173

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen 174

Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach 174

Der Funktionenraum der Polynome 175

Monome als Bausteine von Polynomen 175

Orthogonale Funktionen - was bedeutet das? 175

Trigonometrische Funktionen 177

Auf der Suche nach einer Basis 177

Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen 178

Die Fourierreihe - wir bringen Funktionen zum Schwingen 179

So macht man aus unstetigen Funktionen stetige 180

Teil III
Matrizen 183

Kapitel 9
Rechenregeln 185

Assoziativgesetz, Distributivges…