Selecta Mathematica IV

Von jeher haben vViederkehrerscheinungen das Interesse nachdenk licher Leute gefunden und insbesondere mathematische Untersuchungen angeregt. Periodisches Zählen verbinden wir mit der Regelmäßigkeit eines Rhythmus, Translationsgruppen mit der Wiederkehr in Fries mustern, und die Umläufe der Planeten verlangten Newton die Erfin dung der Infinitesimalrechnung ab. Es geht aber nicht nur darum, beobachtete Wiederkehr in mathematischen Modellen nachzuzeichnen, sondern auch um die grundsätzliche Frage: Warum muß Wiederkehr sein? Genauer: Welche Eigenschaften eines mathematischen Modells erzwingen das Auftreten von Wiederkehrerscheinungen ? Die Antwort der Mathematik auf diese Frage sind die sog. vVieder kehrsätze, von denen wir die wichtigsten in diesem Band in typischer Gestalt, wenn auch nicht immer in größtmöglicher Allgemeinheit vor stellen. Sie lassen sich nach der Art der zugrunde gelegten Strukturen unterscheiden. Arbeitet man mit rein topologischen Mitteln, so befindet man sich in der sog. topologischen Dynamik, der unser erster Beitrag gilt. Der hier bewiesene Wiederkehrsatz 3.9 stützt sich vor allem auf die Kom paktheit des zugrunde liegenden Raums und zeigt die Existenz fast periodischer Bewegungen. Starre Bewegungen eines speziellen Kompaktums, nämlich der Kreislinie (oder allgemeiner: eines Torus), sowie einen strengeren Fast periodizitätsbegriff untersucht der zweite Beitrag über Gleichverteilung mod 1, in dem wir Weyls berühmten Satz beweisen, und den Leser auch etwas in die Mittelwerttheorie der fastperioiischen Funktionen ein führen.

Klappentext

Von jeher haben vViederkehrerscheinungen das Interesse nachdenk­ licher Leute gefunden und insbesondere mathematische Untersuchungen angeregt. Periodisches Zählen verbinden wir mit der Regelmäßigkeit eines Rhythmus, Translationsgruppen mit der Wiederkehr in Fries­ mustern, und die Umläufe der Planeten verlangten Newton die Erfin­ dung der Infinitesimalrechnung ab. Es geht aber nicht nur darum, beobachtete Wiederkehr in mathematischen Modellen nachzuzeichnen, sondern auch um die grundsätzliche Frage: Warum muß Wiederkehr sein? Genauer: Welche Eigenschaften eines mathematischen Modells erzwingen das Auftreten von Wiederkehrerscheinungen ? Die Antwort der Mathematik auf diese Frage sind die sog. vVieder­ kehrsätze, von denen wir die wichtigsten in diesem Band in typischer Gestalt, wenn auch nicht immer in größtmöglicher Allgemeinheit vor­ stellen. Sie lassen sich nach der Art der zugrunde gelegten Strukturen unterscheiden. Arbeitet man mit rein topologischen Mitteln, so befindet man sich in der sog. topologischen Dynamik, der unser erster Beitrag gilt. Der hier bewiesene Wiederkehrsatz 3.9 stützt sich vor allem auf die Kom­ paktheit des zugrunde liegenden Raums und zeigt die Existenz fast­ periodischer Bewegungen. Starre Bewegungen eines speziellen Kompaktums, nämlich der Kreislinie (oder allgemeiner: eines Torus), sowie einen strengeren Fast­ periodizitätsbegriff untersucht der zweite Beitrag über Gleichverteilung mod 1, in dem wir Weyls berühmten Satz beweisen, und den Leser auch etwas in die Mittelwerttheorie der fastperioiischen Funktionen ein­ führen.

Inhalt
Einige Grundbegriffe der topologischen Dynamik.- § 1. Einführung.- § 2. Ein einfacher Spezialfall.- § 3. Fastperiodische Punkte und minimal-invariante Teilmengen.- § 4. Ein Beispiel: der Satz von Kronecker.- § 5. Minimal-invariante Teilmengen und fastperiodische Punkte im shift-Raum.- § 6. Anziehungszentren.- § 7. Anziehungszentren im shift-Raum.- Literatur.- Poincarés Wiederkehrsatz.- § 1. Grundbegriffe der Maßtheorie.- § 2. Dynamische Systeme.- § 3. Der Wiederkehrsatz von Poincaré.- § 4. Der Wiederkehrsatz von Kac.- § 5. Die topologisierte Form des Poincaréschen Wiederkehrsatzes.- Literatur.- Gleichverteilung mod 1.- § 1. Drehungen des Einheitskreises.- § 2. Der Satz von Kronecker.- § 3. Mittelwerte stetiger Funktionen auf dem Einheitskreis.- § 4. Mittelwerte Riemann-integrabler Funktionen.- § 5. Interpretation mod 1.- § 6. Drehungen auf dem r-dimensionalen Tonus.- § 7. Kritik an den bisherigen Methoden.- § 8. Gleichverteilung und Heiratssatz.- § 9. Das Haarsche Maß auf kompakten Gruppen.- Literatur.- Markov-Prozesse mit endlichvielen Zuständen.- § 1. Stochastische Matrizen und Abbildungen.- § 2. Das asymptotische Verhalten Markovscher Prozesse: Vorstudien.- § 3. Die Methode der invarianten Mengen.- § 4. Die Methode der kompakten Halbgruppen.- § 5. Die Methode der Einheitswurzeln.- Literatur.- Konjunkturschwankungen.- § 1. Einleitung.- § 2. Das Spinnwebmodell.- § 3. Multiplikator und Accelerationsprinzip.- § 4. Ein spieltheoretisches Modell.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.