Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade

Die mathematische Beschreibung naturwissenschaftlicher Vorgange fuhrt in den meisten Fallen auf Gleichungen der Form Fx = y , wobei die Ab bildung F: X + Y und das Element ye Y gegeben sind, und eine Lasung x E X gesucht wird. Gelegentlich kommen auch Ungleichungen vor, worauf wir jedoch in dieser Vorlesung nicht eingehen. Wir haben gleich die Frage nach der Existenz von Lasungen gestellt, da wir hauptsachlich an einer positiven Antwort interessiert sind, obwohl es auch bemerkenswert viele Situationen gibt, in denen man das Gegenteil haben will. Wenn wir sicher sind, daB mindestens eine Lasung vorhanden ist, fragen wir wei ter, ob es nur diese oder noch andere Losungen gibt. Auch diese Eindeu tigkeitsfrage ist zwiespaltig. Oft ist die eindeutige Losbarkeit er wunscht, oft sind aber gerade die Gleichungen besonders wichtig, die mehrere Lasungen haben; auBerdem ist zu unterscheiden zwischen lokaler Eindeutigkeit, die nur besagt, daB in einer gewissen Umgebung einer Lasung keine weiteren existieren, und globaler Eindeutigkeit, bei der es uberhaupt nur ein x e X mit Fx = y gibt. Will man beispielsweise eine nxn-Matrix A invertieren, so darfAx = 0 nur die Lasung x = 0 haben; andererseits geben gerade die Eigenwerte A von A , oder anders ausgedrlickt, die Gleichungen (A-AI)x = 0 mit meh reren Lasungen, die beste Einsicht in das Verhalten der Abbildung A Belastet man einen vertikal eingespannten Stab, so muB selbst der auf Sicherheit Bedachte, d. h.

Inhalt

1. Hilfsmittel aus Topologie und Funktionalanalysis.- § 1. Metrische Räume.- § 2. Normierte Räume.- § 3. Differentiation in Banach-Räumen.- § 4. Beispiele.- § 5. Fortsetzungen stetiger Operatoren.- § 6. Differenzierbare Abbildungen des Rn.- 2. Der Abbildungsgrad von Brouwer.- § 7. Der Abbildungsgrad für stetig differenzierbare Abbildungen.- § 8. Der Abbildungsgrad für stetige Abbildungen.- § 9. Der Fixpunktsatz von Brouwer.- § 10. Der Satz von Borsuk.- § 11. Die Produkteigenschaft.- § 12. Der Abbildungsgrad stetiger Abbildungen auf unbeschränkten Mengen.- § 13. Bemerkungen.- 3. Der Leray-Schauder-Grad.- § 14. Kompakte Operatoren.- § 15. Der Abbildungsgrad in endlichdimensionalen normierten Räumen.- § 16, Definition und Eigenschaften des Leray-Schauder-Grades.- § 17. Eigenwerte kompakter Operatoren.- § 18. Der Satz von Borsuk.- § 19. Die Produkteigenschaft des LS-Grades.- § 20. Lineare kompakte Operatoren.- 4. Fixpunkte kompakter Operatoren.- § 21. Existenz von Fixpunkten.- § 22. Eigenschaften der Fixpunktmenge.- § 23. Isolierte Fixpunkte.- § 24. Nichtlineare Eigenwertprobleme Übungsaufgaben.- 5. Der Leray-Schauder-Grad in lokalkonvexen Räumen.- § 25. Hilfsmittel aus der Theorie topologischer Vektorräume.- § 26. Kompakte Operatoren.- § 27. Der Fixpunktsatz von A. Tychonoff.- 6. Abbildungsgrad und Projektionsmethoden.- § 28. Projektionsschemen.- § 29. Projektionskompakte Operatoren.- § 30. Ein Abbildungsgrad für P-kompakte Operatoren.- § 31. Fixpunktsätze für P-kompakte Operatoren.- § 32. Schlußbemerkungen.