Gegenstand dieses Buches sind Randwertaufgaben. Für elliptische Differentialopera toren werden durch die Bedingung von Lopatinskij-Sapiro ( = covering condition) alle Randwertbedingungen angegeben, die zur normalen Lösbarkeit eines Randwertpro blems führen. Auch wird die Variationsmethode ausführlich dargelegt und Fragen nach ihrem Verhältnis zur allgemeinen elliptischen Theorie behandelt. Bei paraboli schen und hyperbolischen Differentialoperatoren werden solche betrachtet, deren rechte Seite (Ableitungen nach x) ein elliptischer Differentialoperator ist, und die Kenntnisse über elliptische Operatoren werden benutzt, um Einsichten in die Lösbarkeit und die Regularitätseigenschaften der Lösung beim gemischten Problem zu gewinnen. Für die Bedingung von Lopatinskij-Sapiro habe ich eine Form gewählt, die es erlaubt, sofort zu testen, ob gegebene Randwertbedingungen sie erfüllen oder nicht. Es zeigt sich, daß alle klassischen Randwertaufgaben ihr genügen, die Beispiele sind im Einzelnen nachgerechnet. Um den Umfang des Buches nicht zu sehr anschwellen zu lassen und den einführenden Charakter zu wahren, habe ich Pseudodifferentialoperatoren nicht behandelt; doch habe ich den Hauptsatz für elliptische Randwertprobleme durch Pseudodifferentialo peratoren bewiesen - ohne sie so zu benennen. Den Differentialgleichungen habe ich ein ausführliches Kapitel über Distributionen und Sobolevräume vorangestellt; ich bin hier elementar vorgegangen, habe mit der Fouriertransformation gearbeitet und habe keine Interpolationssätze benutzt. Dies ist 2 - solange man innerhalb der L-Theorie bleibt - ohne weiteres möglich. Die U Theorie habe ich nicht behandelt, sie bekommt ihr volles Gewicht erst für nichtlineare Gleichungen, siehe z. B. Lions [3], während sie für lineare nicht viele grundlegend neue Erkenntnisse bringt.

Klappentext

I Sobolevrme.- Bezeichnungen, Grundbegriffe, Distributionen.- Geometrische Voraussetzungen an die Gebiete ?.- Definitionen und Dichteeigenschaften der Sobolev-Slobodeckijschen Rme W2l(?).- Der Transformationssatz und Sobolevrme auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- Die Definition der Sobolevschen Rme durch die Fouriertransformation und Fortsetzungssze.- Stetige Einbettungen und das Lemma von Sobolev.- Kompakte Einbettungen.- Der Spuroperator.- Die schwache Folgenkompaktheit und die Approximation der Ableitungen durch Differenzenquotienten.- II Elliptische Differentialoperatoren.- Lineare Differentialoperatoren.- Die Bedingung von Lopatinskij-piro und Beispiele.- Fredholmoperatoren.- Der Hauptsatz und einige Sze er den Index von elliptischen Randwertproblemen.- Die Greenschen Formeln.- Die adjungierte Randwertaufgabe und der Zusammenhang mit dem Bildraum des ursprglichen Operators.- Beispiele.- III Stark elliptische Differentialoperatoren und die Variationsmethode.- Gelfandsche Dreier, der Satz von Lax-Milgram, V-elliptische und V-koerzive Operatoren.- Die Bedingung von Agmon.- Der Satz von Agmon: Bedingungen f die V-Koerzivit von stark elliptischen Differentialoperatoren.- Die Regularit der Lungen von stark elliptischen Gleichungen.- Der Lungssatz f stark elliptische Gleichungen und Beispiele.- Der Schaudersche Fixpunktsatz und eine nichtlineare Aufgabe.- Elliptische Randwertaufgaben f unbeschrkte Gebiete.- IV Parabolische Differentialoperatoren.- Das Bochner-Integral.- Distributionen mit Werten in Hilbertrmen H und der Raum W(0, T).- Die Existenz und Eindeutigkeit der Lung einerparabolischen Differentialgleichung.- Die Regularit der Lungen der parabolischen Differentialgleichung.- Beispiele.- V Hyperbolische Differentialoperatoren.- Die Existenz und Eindeutigkeit der Lung.- Die Regularit der Lungen der hyperbolischen Differentialgleichung.- Beispiele.- VI Differenzenverfahren zur Berechnung der Lung einer partiellen Differentialgleichung.- Der funktionalanalytische Rahmen f Differenzenverfahren.- Differenzenverfahren f elliptische Differentialgleichungen und f die Wellengleichung.- Evolutionsgleichungen.- Funktions- und Distributionsrme.

Inhalt
I Sobolevräume.- §1 Bezeichnungen, Grundbegriffe, Distributionen.- §2 Geometrische Voraussetzungen an die Gebiete ?.- §3 Definitionen und Dichteeigenschaften der Sobolev-Slobodeckijschen Räume W2l(?).- §4 Der Transformationssatz und Sobolevräume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- §5 Die Definition der Sobolevschen Räume durch die Fouriertransformation und Fortsetzungssätze.- §6 Stetige Einbettungen und das Lemma von Sobolev.- §7 Kompakte Einbettungen.- §8 Der Spuroperator.- §9 Die schwache Folgenkompaktheit und die Approximation der Ableitungen durch Differenzenquotienten.- II Elliptische Differentialoperatoren.- §10 Lineare Differentialoperatoren.- §11 Die Bedingung von Lopatinskij-apiro und Beispiele.- §12 Fredholmoperatoren.- §13 Der Hauptsatz und einige Sätze über den Index von elliptischen Randwertproblemen.- §14 Die Greenschen Formeln.- §15 Die adjungierte Randwertaufgabe und der Zusammenhang mit dem Bildraum des ursprünglichen Operators.- §16 Beispiele.- III Stark elliptische Differentialoperatoren und die Variationsmethode.- §17 Gelfandsche Dreier, der Satz von Lax-Milgram, V-elliptische und V-koerzive Operatoren.- §18 Die Bedingung von Agmon.- §19 Der Satz von Agmon: Bedingungen für die V-Koerzivität von stark elliptischen Differentialoperatoren.- §20 Die Regularität der Lösungen von stark elliptischen Gleichungen.- §21 Der Lösungssatz für stark elliptische Gleichungen und Beispiele.- §22 Der Schaudersche Fixpunktsatz und eine nichtlineare Aufgabe.- §23 Elliptische Randwertaufgaben für unbeschränkte Gebiete.- IV Parabolische Differentialoperatoren.- §24 Das Bochner-Integral.- §25 Distributionen mit Werten in Hilberträumen H und der Raum W(0, T).- §26 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einerparabolischen Differentialgleichung.- §27 Die Regularität der Lösungen der parabolischen Differentialgleichung.- §28 Beispiele.- V Hyperbolische Differentialoperatoren.- §29 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung.- §30 Die Regularität der Lösungen der hyperbolischen Differentialgleichung.- §31 Beispiele.- VI Differenzenverfahren zur Berechnung der Lösung einer partiellen Differentialgleichung.- §32 Der funktionalanalytische Rahmen für Differenzenverfahren.- §33 Differenzenverfahren für elliptische Differentialgleichungen und für die Wellengleichung.- §34 Evolutionsgleichungen.- Funktions- und Distributionsräume.