Unter den stochastischen Prozessen sind die Semi-Mark off Prozesse besonders geeignet zur Beschreibung einer gro6en Anzahl von Zufallsvorgangen in Natur, Wirtschaft und Technik. Man denke nur an Wachstumsprozesse, Lagerhaltungs- und Warte schlangenprobleme oder Probleme der Zuverlassigkeit von Sy stemen. Die Semi-Markoff-Prozesse sind gekennzeichnet durch endlich viele oder abzahlbar unendlich viele Zustande, durch die Uber gangswahrscheinlichkeiten und durch die Verteilungsfunktionen fUr die Zustandsdauern. Sie enthalten als Spezialfalle die Klasse der Erneuerungsprozesse (ein einziger Zustand), die Klasse der Markoff-Ketten (konstante gleiche Zustandsdauer aller Zustande) und der Markoff-Prozesse mit stetigem Zeit parameter (negativ-exponentielle Verteilung der Zustands dauern). Dieser Bericht enthalt im ersten Teil einen Abri6 der Erneue rungstheorie, deren Ergebnisse die wesentlichen mathematischen Hilfsmittel fUr die Behandlung der Semi-Markoff-Prozesse lie fern. Im zweiten Teil werden die fUr die Anwendungen wichtig sten Resultate der Theorie der Semi-Markoff-Prozesse hergelei tet. Bekannte Ergebnisse werden mit Namen zitiert. Die Unter suchung beschrankt sich auf die Semi-Markoff-Prozesse mit end lich vielen Zustanden, weil sie fUr die Anwendungen besondere Bedeutung haben und sich mit den einfachen Mitteln des Matrizen kalkUls behandeln lassen. Der Verfasser dankt Herrn Professor Dr. M. Beckmann fUr das freundliche Angebot, diese Arbeit in die Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems aufzunehmen. FUr die sorgfaltige Anfertigung des Maschinenskriptums ist er Frau M. Zech zu Dank verpflichtet, ebenso Herrn U. Voges fUr zahlreiche Korrekturhinweise. Inhaltsverzeichnis 1. Erneuerungstheoretische Grundlagen 1 1 .1. Einlei tung .......... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . .

Inhalt

1. Erneuerungstheoretische Grundlagen.- 1.1. Einleitung.- 1.2. Erneuerungsprozesse.- 1.3. Grenzwertsätze.- 1.4. Berechnung von Erneuerungsfunktionen.- 1.5. Überlagerung von Erneuerungsprozessen.- 2. Beschreibung von Semi-Markoff-Prozessen.- 2.1. Stochastische Prozesse.- 2.2. Markoff-Ketten.- 2.3. Semi-Markoff-Prozesse.- 2.4. Zustandskiassen.- 3. Stochastische Matrizen.- 4. Verteilung von Wartezeiten nach Erneuerungen.- 4.1. Das allgemeine Gleichungssystem und seine Lösung.- 4.2. Momente.- 4.3. Spezialisierungen.- 5. Verteilung von Anfangswartezeiten.- 5.1. Die allgemeine Gleichung.- 5.2. Spezialisierungen.- 6. Eingebettete Erneuerungsprozesse in stationären Semi-Markoff-Prozessen.- 6.1. h-k-Übergänge.- 6.2. k-Erneuerungen.- 7. Zustandswahrscheinlichkeiten in stationären Semi-Markoff-Prozessen.- 8. Vergröberungen stationärer Semi-Markoff-Prozesse.- 8.1. Bedingte Verweildauern.- 8.2. Zustandswahrscheinlichkeiten.- 8.3. Abstände von Klassenübergängen.- 8.4. Die triviale Vergröberung.- 9. Grenzwertsätze für nichtstationäre Semi-Markoff- Prozesse und Vergröberungen.- 9.1. Zustandswahrscheinlichkeiten.- 9.2. Bedingte Verweildauern.- 10. Hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit der Grenzwertsätze.- 10.1. Gitterförmige und arithmetische Verteilungsfunktionen.- 10.2. Faltung von Verteilungsfunktionen.- 10.3. Mischung von Verteilungsfunktionen.- 10.4. Verteilungsfunktionen der Erneuerungsahstände.- 10.5. Erneuerungsdichten.- 11. Spezielle Semi-Markoff-Prozesse und Anwendungen.- 11.1. Markoffprozesse.- 11.2. Verallgemeinerte Geburt- und Tod-Prozesse (birth and death processes).- 11.3. Geburt- und Tod-Prozesse.- 12. Nicht behandelte Probleme.- Literatur.