Die Hilbertschen Raume mit reproduzierendem Kern gehoren zu jenen mathematischen Strukturen, die sich in vielen Gebieten der Analysis anwenden lassen. Manche Klassen von analytischen Funktionen (von einer oder mehreren komplexen Veranderlichen), aber auch gewisse Mengen von L6sungen partieller Differentialgleichungen erweisen sich als Hilbertsche Funktionenraume, die einen reproduzierenden Kern besitzen. Bald nach Erscheinen der grundlegenden Arbeiten von BERGMAN und BOCHNER im Jahre 1922 (s. Literaturverzeichnis) wurde klar, daB die Einffihrung von "Kernfunktionen" besonders fUr die Theorie der konformen Abbildung fruchtbar werden muBte. Wahrend in der von KOEBE und seinen Schiilern begrfindeten Theorie viele Satze den Cha rakter reiner Existenzaussagen hatten, gelang es mit Hilfe der Kern funktionen, die klassischen Abbildungsfunktionen explizit darzustellen und damit ihre effektive Berechnung zu erleichtern. In frfiheren Darstellungen fiber die Kernfunktionen hat man meist die Bedeutung der neuen Betrachtungsweise ffir die einzelnen Disziplinen getrennt herausgestellt. Bei einer so1chen fibergreifenden TheOl"ie ist es aber auch moglich, von den allgemeinen Eigenschaften Hilbertscher Funktionenraume mit Kernfunktion auszugehen. Besonders die um fassende Arbeit von ARONSZAJN [1] hat eine so1che Darstellungsweise nahe gelegt. Sie macht es moglich, Wiederholungen zu vermeiden und allgemeine Eigenschaften der Kernfunktionen als so1che herauszustellen. Urn diese Schrift auch fUr Student en der mittleren Semester lesbar zu machen, beginnen wir mit einem Kapitel fiber die allgemeinen Hilbertschen Raume. Wir beschranken uns dabei auf den Beweis so1cher Satze, die ffir die hier behandelte Theorie gebraucht werden.

Inhalt
Erstes Kapitel. Einleitung.- Zweites Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Hilbertschen Räume.- § 1. Definitionen.- § 2. Die Orthogonalisierung.- §3. Abgeschlossenheit und Vollständigkeit.- § 4. Separierbarkeit von Hilbertschen Räumen.- § 5. Beispiele.- § 6. Unterräume.- § 7. Lineare Funktionale.- § 8. Lineare Operatoren.- § 9. Eigenwertprobleme für vollstetige Operatoren.- §10. Der Wurzeloperator für symmetrische positive Operatoren.- Drittes Kapitel. Der reproduzierende Kern.- § 1. Grundlegende Eigenschaften.- § 2. Separierbarkeit von Räumen mit Kernfunktion.- § 3. Operatoren in Räumen mit Kernfunktion.- § 4. Ergänzung unvollständiger Räume.- § 5. Vollständige Systeme.- Viertes Kapitel. Beispiele von Hilbertschen Räumen mit reproduzierendem Kern.- § 1. Integralsätze.- § 2. Die Bergmansche Kernfunktion.- § 3. Der reproduzierende Kern für Lösungsfunktionen von partiellen Differentialgleichungen.- § 4. Der Bergman-Kern und die Green-Funktion.- § 5. Approximierung durch rationale Funktionen.- § 6. Der reproduzierende Kern für harmonische Funktionen.- § 7. Der Szegö-Kern.- § 8. Der Bergman-Kern für Funktionen mit mehreren Veränderlichen..- § 9. Die Abhängigkeit der Funktion K(x, x) vom Gebiet.- Fünftes Kapitel. Die Hilbert-Räume positiver Matrizen.- § 1. Positive Matrizen.- § 2. Die Summe zweier Kernfunktionen.- § 3. Die Differenz von Kernen.- § 4. Das Produkt zweier Kernfunktionen.- § 5. Konvergente Folgen von Kernfunktionen.- Sechstes Kapitel. Orthonormalsysteme mit speziellen Eigenschaften.- §1. Interpolation bei endlich vielen Punkten.- § 2. Abzählbar viele Interpolationspunkte.- § 3. Eine Eigenschaft des Bergman-Systems.- § 4. Orthogonalisierung mit Gewichtsfunktionen.- Siebentes Kapitel. Normalabbildungen.- §1. Die Parallelschlitzabbildung.- §2. Die Radial-und Kreisschlitzabbildung.- §3. Die Abbildung auf einen beschränkten Kreisschlitzbereich.- § 4. Beschränkte Funktionen.- § 5. Der Bildbereich von N(z, u).- Achtes Kapitel. Die Darstellung von Funktionen.- § 1. Szegö-Systeme für Funktionen mit Polen.- §2. Darstellung durch Bergman-Systeme.- § 3. Das Poisson-Integral für mehrfach zusammenhängende Bereiche.- §. Weitere Verallgemeinerungen l6l.- § 5. Darstellung durch den Randwinkel.- § 6. Darstellung durch Kerne mit Gewichtsfunktion.- § 7. Abbildung auf den Einheitskreis.- Neuntes Kapitel. Extremalprobleme.- § 1. Eine Eigenschaft der Funktion N'm (z, u).- § 2. Verzerrungssätze für schlichte Funktionen.- §3. Verallgemeinerung des Bieberbachschen Flächensatzes.- § 4. Extremalsätze für den Szegö-Kern.- § 5. Schlichtheitsschranken.- §6. Abschätzung von Restgliedern.- Zehntes Kapitel. Doppelte Orthogonalität.- § 1. Beispiele für vollstetige Operatoren in den Räumen HS und H(B).- § 2. Die zweite Orthogonalitätsrelation.- § 3. Die Vielfachheit des ersten Eigenwertes.- § 4. Eigenschaften quadratischer Formen.- § 5. Beispiele und Verallgemeinerungen.- § 6. Typen von Orthonormalsystemen.- § 7. Ein Approximationsproblem.- § 8. Eigenschaften der Transformation T(B) f.- Elftes Kapitel. Hilbert-Räume aus Lösungen elliptischer Differentialgleichungen.- §1. Definition eines inneren Produktes.- § 2. Hilfssätze.- § 3. Randwertprobleme.- § 4. Fundamentale Singularitäten.- § 5. Die Kernfunktion.- Zwölftes Kapitel. Kernfunktionen in der Theorie der Funktionen von mehreren komplexen Veränderlichen.- § 1. Definitionen und grundlegende Sätze.- § 2. Anwendung der Kernfunktion.- § 3. Minimalbereiche.- §4. Kernfunktion und Hüllenbildung.-§ 5. Die analytische Fortsetzung quadratintegrabler Funktionen.- § 6. Kern und Außenhülle.- § 7. Die allgemeine Bergmansche Metrik und ihre Fortsetzbarkeit.- Namen- und Sachregister.