Lineare Algebra

Das Lehrbuch führt in die Lineare Algebra ein. Um den Einstieg in die mathematische Denkweise zu erleichtern, vermittelt der Autor zunächst anschauliche geometrische Prinzipien, um danach den Abstraktionsgrad schrittweise zu steigern. Mit Übungsaufgaben.

Die Lineare Algebra ist eine eigenständige mathematische Disziplin mit vielfältigen Querverbindungen zu den anderen mathematischen Fächern und zugleich ein unverzichtbares Instrument für Wissenschaft und Technik. Dieses Lehrbuch bietet Studierende der Mathematik, der Natur- und Ingenieurwissenschaften eine solide Einführung in die Lineare Algebra. Dabei wird von Anfang an ein starkes Gewicht auf die Wechselbeziehungen zwischen guter Theorie und mächtigen Anwendungen gelegt. Für den sanften Einstieg in die oft als schwierig empfundene mathematische Denkweise wählt das erste Kapitel "anschaulich evidente" geometrische Prinzipien als Ausgangspunkt, um schrittweise zu einer strukturellen Betrachtungsweise zu gelangen. Begriffe, die hier entstehen, sind dann für die gesamte Darstellung fundamental; in ihr wird der kanonische Inhalt der Linearen Algebra in enger Verflechtung mit geometrischer Deutung und Anwendungen entwickelt. Anwendungen, die sich auf dieser Basis ganz natürlich ergeben, umfassen Fouriertransformationen, gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Optimierung sowie Methoden der Modellierung (finite Elemente) und numerische Verfahren mit Blick auf Fragen aus Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaftswissenschaften. Eine Vielzahl von Übungsaufgaben erleichtert die Vertiefung des Lernstoffs. Zu ausgewählten Aufgaben werden Lösungen im Internet angeboten.

Einfacher, anschauungsbasierter Zugang in den ersten Kapiteln, dann ansteigender Abstraktionsgrad

Entsprechend dem didaktischen Spiralprinzip wird manches doppelt betrachtet, zunächst anschaulich in Spezialfällen, dann von einer höheren Warte aus

Starker Fokus auf Querverbindungen zur Analysis und zu den Anwendungen

Eine Vielzahl von Übungsaufgaben

Includes supplementary material: sn.pub/extras

Autorentext

Herbert J. Muthsam ist Professor an der Fakultät für Mathematik der Universität Wien. Er hält mathematische und anwendungsorientierte Vorlesungen für Studierende der Mathematik und der physikalischen Wissenschaften. Er forscht über numerische Modellierung vorwiegend für astrophysikalische Fragestellungen.

Zusammenfassung

"It can be stated that Chapters 1-9 cover the usual standard material of basic linear algebra, whereas Chapters 10-12 offer a wealth of additional applied topics. The latter are presented in a very elaborated and detailed form, which makes the present book particularly valuable for a wide audience of students in applied sciences. In view of its outstanding lucidity, its numerous instructive examples and carefully selected sets of exercises, its computer-oriented hints, and its steady focus on the interplay between theory and practice, the present book is by far much more than just another standard text in linear algebra. Rather, it is fairly unique in both its user-friendly disposition and its pronounced versatility, which certainly will be appreciated by a wide audience of students and instructors in various sciences."

Werner Kleinert (Berlin) in Zentralblatt Mathematik

Inhalt
Vorwort 1 Einführung 1.1 Aus der Mengenlehre 1.2 Der n-dimensionale Raum 1.3 Vektoraddition; skalares Vielfaches eines Vektors 1.4 Geraden 1.5 Die Geradengleichung in der Ebene 1.6 Das innere Produkt in der Ebene 1.7 Abstand Punkt - Gerade 1.8 Das innere Produkt im Raume 1.9 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren im Rn . 1.10 Das äußere Produkt im Raume 1.11 Ebenen im Raume; Abstand Punkt - Ebene 1.12 Abbildungen 2 Gruppen, Körper, lineare Räume 2.1 Gruppen 2.2 Körper 2.3 Lineare oder Vektorräume 2.4 Das Erzeugnis 2.5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 2.6 Basen in endlichdimensionalen Räumen 3 Lineare Abbildungen 3.1 Definition und Beispiele 3.2 Lineare Abbildungen und Matrizen 3.3 Zusammensetzung linearer Abbildungen 3.4 Das Gauß'sche Eliminationsverfahren 3.5 Invertierung linearer Abbildungen 3.6 Weiteres zum Eliminationsverfahren 3.7 Anwendung: Zur Wärmeleitungsgleichung 4 Geometrie linearer Abbildungen 4.1 Der Nullraum oder Kern 4.2 Das Bild 4.3 Basiswechsel 4.4 Der Rang einer linearen Abbildung 4.5 Direkte Summen; Quotientenräume 5 Lineare Abbildungen - Determinanten 5.1 Determinanten kleiner Matrizen 5.2 Permutationen 5.3 Determinanten - Vorbereitung 5.4 Grundeigenschaften von Determinanten 5.5 Algorithmisches 6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Von den Polynomen 6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren: Grundeigenschaften 6.3 Das charakteristische Polynom 6.4 Eigenräume 7 Innere Produkte und Normen 7.1 Inneres Produkt - reeller Fall 7.2 Inneres Produkt - komplexer Fall 7.3 Normierte Räume 7.4 Orthogonalisierung von Vektoren 7.5 Orthogonale Basen und andere 7.6 Adjunktion, Transposition und Hermite'sche Konjugation 7.7 Beste Approximation durch Teilräume 7.8 Ausgleichsprobleme 8 Adjungierte Transformation und selbstadjungierte Abbildungen 8.1 Die adjungierte Transformation 8.2 Normale Abbildungen 8.3 Selbstadjungierte Abbildungen 8.4 Orthogonale und unitäre Abbildungen 8.5 Bilinearformen und Sesquilinearformen 8.6 Synopsis: Gruppen linearer Abbildungen 8.7 Klassifikation der Kurven und Flächen zweiter Ordnung 8.8 Komplexe Exponentialfunktion und Fourierreihen 8.9 Die diskrete Fouriertransformation 8.10 Anwendungen der Fouriertransformation 9 Normalformen von Matrizen 9.1 Die Jordan'sche Normalform 9.2 Anwendung: Gewöhnliche Differentialgleichungen 9.3 Die Singulärwertzerlegung 10 Lineare Algebra und partielle Differentialgleichungen 10.1 Methode der Finiten Elemente 10.2 Die Wärmeleitungsgleichung: Symmetrie und Variationsprinzip 10.3 Die Ritz-Galernkin'sche Methode 10.4 Implementierung des Ritz-Galernkin'schen Verfahrens 10.5 Die von Neumann'sche Stabilitätsanalyse 11 Numerische Lineare Algebra 11.1 Householder-Matrizen und die QR-Zerlegung 11.2 Normen: Querverbindungen zur Analysis 11.3 Matrixnormen 11.4 Kondition von Gleichungssystemen 11.5 Iterative Lösung von Gleichungen: Das Prinzip 11.6 Die Verfahren von Jacobi und Gauß-Seidel 11.7 Das Mehrgitterverfahren 11.8 Das Verfahren der konjugierten Gradienten 11.9 Eigenwerte: Die Potenzmethode 11.10 Hessenbergmatrizen 11.11 Eigenwerte reeller symmetrischer Matrizen 12 Lineare Optimierung 12.1 Die Problemstellung 12.2 Konvexe Polyeder 12.3 Die Simplexmethode Index