Lebensversicherungsmathematik

In den letzten Monaten haben die Zeitungen vieWiltige Bilder iiber die Er scheinung des Kometen Halley veroffentlicht. Seit 76 Jahren ist er diesen Winter am niichtlichen Himmel wieder sichtbar geworden. Es ist deshalb sinnvoll, auch an die Tatsache zu erinnern, daB Sir Edmund Halley 1693 auch die erste Sterbetafel konstruierte und damit die wissenschaftliche Basis fUr die DurchfUhrung der Lebensversicherung schuf. Die traditionelle Interpretation dieser und spiiter verwendeter Sterbetafeln ist deterministisch, d. h. sie geht von der Vorstellung aus, daB z. B. die Anzahl der in einem Jahr sterbenden Personen eine feste Zahl sei. In Wirklichkeit ist diese Anzahl aber zufallig. Um diesem aleatorischen Charakter gerecht zu werden, muB deshalb in der Lebensversicherungsmathematik die Wahr scheinlichkeitstheorie stiirker als bisher zum Tragen kommen. Die Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker mochte mit diesem Buch diese "moderne" Lebensversicherungsmathematik fOrdern. Sie ist gliicklich, daB Herr Professor Gerber, als Experte von Weltruf, die Auf gabe iibernommen hat, einen solchen Text zu verfassen. Erfreut sind wir auch iiber die angenehme Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag. Wir hoffen sehr, damit den AnstoB fUr eine erfolgreiche Serie versicherungsmathe matischer Publikationen gegeben zu haben.

Klappentext

In den letzten Monaten haben die Zeitungen vieWiltige Bilder iiber die Er­ scheinung des Kometen Halley veroffentlicht. Seit 76 Jahren ist er diesen Winter am niichtlichen Himmel wieder sichtbar geworden. Es ist deshalb sinnvoll, auch an die Tatsache zu erinnern, daB Sir Edmund Halley 1693 auch die erste Sterbetafel konstruierte und damit die wissenschaftliche Basis fUr die DurchfUhrung der Lebensversicherung schuf. Die traditionelle Interpretation dieser und spiiter verwendeter Sterbetafeln ist deterministisch, d. h. sie geht von der Vorstellung aus, daB z. B. die Anzahl der in einem Jahr sterbenden Personen eine feste Zahl sei. In Wirklichkeit ist diese Anzahl aber zufallig. Um diesem aleatorischen Charakter gerecht zu werden, muB deshalb in der Lebensversicherungsmathematik die Wahr­ scheinlichkeitstheorie stiirker als bisher zum Tragen kommen. Die Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker mochte mit diesem Buch diese "moderne" Lebensversicherungsmathematik fOrdern. Sie ist gliicklich, daB Herr Professor Gerber, als Experte von Weltruf, die Auf­ gabe iibernommen hat, einen solchen Text zu verfassen. Erfreut sind wir auch iiber die angenehme Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag. Wir hoffen sehr, damit den AnstoB fUr eine erfolgreiche Serie versicherungsmathe­ matischer Publikationen gegeben zu haben.

Inhalt

1. Zinsrechnung.- 1.1. Rechnungsgrundlagen.- 1.2. Effektive Zinsraten.- 1.3. Nominelle Zinsraten.- 1.4. Kontinuierliche Zahlungen.- 1.5. Zins zum voraus.- 1.6. Ewige Renten.- 1.7. Zeitrenten.- 1.8. Die Rückzahlung einer Schuld.- 1.9. Die Berechnung des Renditezinssatzes.- 2. Die zukünftige Lebensdauer eines x-jährigen.- 2.1. Das Modell.- 2.2. Die Sterblichkeitsintensität.- 2.3. Analytische Verteilungen von T.- 2.4. Die gestutzte Lebensdauer des x-jährigen.- 2.5. Sterbetafeln.- 2.6. Sterbewahrscheinlichkeiten für den Bruchteil eines Jahres.- 3. Kapitalversicherungen.- 3.1. Einleitung.- 3.2. Die einfachsten Versicherungsformen.- 3.4. Allgemeine Todesfallversicherungen.- 3.5. Einige Standardtypen.- 3.6. Rekursionsformeln.- 4. Leibrenten.- 4.1. Einleitung.- 4.2. Die einfachsten Leibrenten.- 4.3. Unterjährige Zahlung.- 4.4. Allgemeine Leibrenten.- 4.5. Einige Standardtypen.- 4.6. Rekursionsformeln.- 4.7. Einige Ungleichungen.- 4.8. Unterjähriger Beginn der Zahlungen.- 5. Nettoprämien.- 5.1. Einleitung.- 5.2. Ein Beispiel.- 5.3. Einfache Versicherungsformen.- 5.4. Unterjährige Bezahlung der Prämie.- 5.5. Eine allgemeine Versicherung.- 5.6. Versicherungen mit Prämienrückgewähr.- 5.7. Stochastischer Zins.- 6. Das Nettodeckungskapital.- 6.1. Einleitung.- 6.2. Zwei Beispiele.- 6.3. Rekursive Betrachtungen.- 6.4. Das Überlebensrisiko.- 6.5. Das Deckungskapital der lebenslänglichen Todesfallversicherung.- 6.6. Das Deckungskapital zu einem gebrochenen Zeitpunkt.- 6.7. Die Zuteilung des totalen Verlustes auf die Versicherungsjahre.- 6.8. Über die Umwandlung einer Versicherung.- 6.9. Der technische Gewinn.- 6.10. Methodik im Falle einer Erlebensfallversicherung.- 6.11. Das kontinuierliche Modell.- 7. Verschiedene Ausscheideursachen.- 7.1. Das Modell.- 7.2.Ausscheideintensitäten.- 7.3. Die gestutzte Verbleibzeit des x-jährigen.- 7.4. Eine allgemeine Versicherung.- 7.5. Das Deckungskapital.- 7.6. Das kontinuierliche Modell.- 8. Versicherung auf mehrere Leben.- 8.1. Einleitung.- 8.2. Der Zustand der verbundenen Leben.- 8.3. Vereinfachungen.- 8.4. Der Zustand des letzten Lebens.- 8.5. Der allgemeine symmetrische Zustand.- 8.6. Die Formel von Schuette-Nesbitt.- 8.7. Asymmetrische Renten.- 8.8. Asymmetrische Versicherungen.- 9. Der Gesamtschaden eines Portefeuilles.- 9.1. Einleitung.- 9.2. Approximation durch eine Normalverteilung.- 9.3. Exakte Berechnung der Gesamtschadenverteilung.- 9.4. Approximation durch eine zusammengesetzte Poissonverteilung.- 9.5. Rekursive Berechnung der zusammengesetzten Poissonverteilung.- 9.6. Rückversicherung.- 9.7. Stop-loss Rückversicherung.- 10. Einbezug der Kosten.- 10.1. Einleitung.- 10.2. Die ausreichende Prämie.- 10.3. Das ausreichende Deckungskapital.- 11. Über die Schätzung von Sterbenswahrscheinlichkeiten.- 11.1. Problemstellung.- 11.2. Klassische Lösung.- 11.3. Alternative Lösung.- 11.4. Die Maximum Likelihood Methode.- 11.5. Statistische Inferenz.- 11.6. Bayessches Verfahren.- 11.7. Verschiedene Ausscheideursachen.- 11.8. Zur Interpretation.- Anhang A. Kommutationszahlen.- A.1. Einleitung.- A.2. Das deterministische Modell.- A.3. Leibrenten.- A.4. Kapitalversicherungen.- A.5. Nettojahresprämien und Deckungskapital.- Anhang B. Einfacher Zins.- Literatur.