Einführung in die klassische und moderne Zahlentheorie

Dieses Buch mochte zahlentheoretische Probleme darstellen, wie ich sie seit etwa 15 Jahren in Vorlesungen an der Universit~t (TH) Karlsruhe, sp~ter auch an der P~dagogischen Hochschule Karlsruhe, behandelt habe. Nachdem es trotz mancher "Unkenrufe aus scheinbar kompetentem Munde" urn 1950 gelang, die beiden Hauptsatze der analytischen Zahlentheorie elementar - i. e. ohne sehr tiefliegende Satze aus der Theorie komplexer Funktionen - zu beweisen, waren Freude und Erstaunen gleichermaBen erheblich. Bis zu dieser Zeit blieben die Beweise der S~tze von GauB und Dirichlet fast ausschlieBlich speziellen Oberseminaren vorbehalten und wurden in normal en Vor lesungen lediglich zitiert. W~hrend Dirichlet den nach ibm be nannten Satz: "Jede aritbmetische Folge erster Ordnung a·n+b (mit teilerfremden ganzrationalen Zahlen a und b)enth~lt unend liche viele Primzahlen" selbst beweisen konnte, hat GauB die nach ibm benannte Aussage: "lim ,,(x) ~lOgx = 1 (wobei ,,(x) fUr die -- zahl der Primzahlen unterhalb x steht) II nur ausgesprochen. Sie wurde erstmals 1896 von Hadamad (1865 bis 1963) und de la Vallee Poussin (1866 bis 1962) bewiesen. Heute ist es durch die im 4. und 5. Kapitel dieses Buches ausfUl~lich behandelten Ergebnisse moglich, die genannten Hauptsatze lediglich mit Mitteln zu be weisen, zu deren Voraussetzungen nicht'mehr gehort als im Mathe matikunterricht ,der SI- und SII-Stufe erortert wird. Von diesen Kenntnissen geht die vorliegende Darstellung aus. Die heute verbreitete Schreibweise fUr Mengen, fUr Relationen und fUr Strukturen ist sehr sparsam verwendet.

Inhalt

1. Vorbereitungen.- 1.1. Einige Grundlagen.- 1.2. Teilbarkeit der ganzen rationalen Zahlen.- 1.3. Restklassen und Teilersummen.- 1.4. Zur Positionsschreibweise der reellen Zahlen.- 1.5. Elementare Beweise einiger Sätze der Analytischen Zahlentheorie.- 2. Kongruenzen und Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen.- 2.1. Lineare Gleichungen und Kongruenzen.- 2.2. Kongruenzen und Gleichungen höheren Grades.- 2.3. Primitivwurzeln, Indizes, Einheitswurzeln.- 2.4. Restpolynome.- 3. Weitere Ergebnisse und Ausbau der klassischen Zahlentheorie.- 3.1. n-te Potenzreste.- 3.2. Sätze über Primzahlen.- 3.3. Algebraische und transzendente Zahlen.- 3.4. Einige Elemente der additiven Zahlentheorie.- 3.5. Eulers Methode der erzeugenden Funktion.- 3.6. Ergänzungen.- 4. Zahlentheoretische Funktionen und analytisdie Hilfsmittel der Zahlentheorie.- 4.1. Zahlentheoretische Funktwnen, Umkehrsätze.- 4.2. Einige Aussagen der reellen Analysis.- 4.3. Zahlentheoretische Anwendungen der bisherigen Ergebnisse.- 4.4. Weitere Aussagen über ? (x) und pn.- 5. Hauptsätze von Gauß und Dirichlet.- 5.1. Vorbereitungen I (Schrankensätze).- 5.2. Der Primzahlsatz von Gauß.- 5.3. Vorbereitungen II (Charakterfunktionen).- 5.4. Die L-Funktionen und der Satz von Dirichlet.- Lösungen der Übungsaufgaben (in Auswahl).- Namen- und Sachverzeichnis.- Tafel der Primzahlen.- Tafeln der Indizes.