Der Ausgangspunkt dieser Arbeit ist in [4 ; 5] zu sehen, wo eine Multiplikatorentheorie vom Typ (X,X) für einen beliebigen Banach Raum X aufgebaut und ihre Nützlichkeit für die Behandlung vieler grundlegender Probleme in der Approximationstheorie aufgezeigt wurde. Eine Vielzahl von weiteren Anwendungsmöglichkeiten legt es nun nahe, diesen Zugang auf Operatoren zwischen zwei versohiedenen Banach-Räumen X,Y auszudehnen. Dies soll mit dieser Arbeit begonnen werden. Ein wesentlicher Punkt am Anfang ist dabei die Frage nach einer geeigneten Definition von Multiplikatoren vom Typ (X,Y). Ausgangs punkt hierzu war für uns eine Arbeit von S. Kaczmarz, der in [19] folgenden Zugang vorschlug: In zwei beliebigen Banach-Räumen X,Y mit Dualen X ,Y sei je weils ein Biorthogonalsystem {fk,f } C X x X , {gk,gk} C Y x y (also k z. B. f~(fj)=Ojk) vorgegeben, wobei die Folge {gk} total über Y sein soll (also gk(g)=O für alle k impliziert g=O). Eine Folge T := {T } k von komplexen Zahlen heißt dann ein MUltiplikator vom Typ (X,Y), d. h. T EM(X,Y), falls zu jedem fEX ein fT EY existiert, so daß (1. 1) für alle k gilt. In [19] wurde dann die Relation M(X,Y) C M(Y ,X ) bewiesen (siehe hierzu auch die jetzigen Sätze 2. 14, 2. 17). Vom Standpunkt der Anwendungen erscheint dieser Aufbau etwas zu allgemein (vgl. aber auch die Bemerkungen in [20, S. 227/8]).

Inhalt

Einleitung.- 2. Definitionen und allgemeine Eigenschaften.- 2.1 Definitionen.- 2.2 Elementare Eigenschaften.- 2.3 Dualitätsaussagen.- 3. Hinreichende Multiplikatorkriterien.- 3.1 Die Klassen bv?+1?.- 3.2 Die Klassen BV?+1?.- 3.3 Anwendungen auf das mehrdimensionale trigonometrische System.- 4. Multiplikatoren starker Konvergenz.- 4.1 Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium.- 4.2 Hinreichende Kriterien.- 4.3 Anwendungen auf radiale Partialsummen mehrdimensionaler trigonometrischer Reihen.- 5. Anwendungen.- 5.1 Jacobi-Reihen in Lebesgue-Räumen.- 5.2 Hermite-Entwicklungen in Gewichtsräumen.- 5.3 Das trigonometrische System in Differentiationsräumen.