Dieses Buch entstand aus Aufzeichnungen, die ich fUr die Horer einer Vorlesung im Jahre 1967/68 in IDel angefertigt hatte. Angesichts der rasch wachsenden Anwendung der kategoriellen Sprache setzt es sich das Ziel, in den zentralen Teil der Theorie einzufUhren und dem weiter Interessierten Zugang zur Literatur zu verschaffen. An Vorkenntnissen sind in der Sache nur die einfachsten Grund begriffe der Mengenlehre und der Algebra erforderlich. Moduln treten zwar von Anfang an in den Beispielen auf, sie werden aber in 15.1 de finiert. Ein Teil der Beispiele entstammt der Topologie. Selbstvers1:ii.nd lich wird das Verstandnis der Begriffsbildungen wesentlich erleichtert, wenn man mit den Beispielen aus Algebra oder Topologie vertraut ist. 1m Mittelpunkt steht der Begriff des darstellbaren Funktors mit seinen Abwandlungen: Limites und adjungierte Funktorpaare. Es handelt sich um die Charakterisierung spezieller Objekte durch uni verselle Abbildungseigenschaften, die fiir Spezialfii.lle schon lange und im Werk von Bourbaki, bei anderer Sprache, systematisch benutzt wird. Das Yoneda-Lemma wird moglichst friih bereitgestellt. Dagegen wird die Behandlung adjungierter Funktorpaare aufgeschoben, bis sie zu sammenhangend moglich ist und auch die Kansche Konstruktion so fort angeschlossen werden kann. Filtrierende Colimites werden gebiih rend beriicksichtigt. Additive Kategorien und Funktorkategorien sind von Anfang an in die Betrachtung einbezogen. Dabei wird die benutzte Mengenlehre dort referiert, wo sich ihr Gebrauch aufdrangt. Nach dem gegenwiirtigen Stand scheinen Universa am handlichsten, und ich ver traue darauf, daB bei einer moglichen Revision der Grundlagen die Substanz der Theorie erhalten bleibt.

Inhalt

Adjungierte Funktoren.- 16.1 Komposition von Funktoren und natürlichen Transformationen.- 16.2 Äquivalenzen von Kategorien.- 16.3 Skelette.- 16.4 Adjungierte Funktoren.- 16.5 Quasi-inverse Adjunktions-Transformationen.- 16.6 Völlig treue Adjungierte.- 16.7 Tensorprodukte.- 17. Adjungierte Funktorpaare zwischen Funktorkategorien.- 17.1 Die Konstruktion von Kan.- 17.2 Dichte Funktoren.- 17.3 Charakterisierung der Yoneda-Einbettung.- 17.4 Kleine projektive Objekte.- 17.5 Endlich erzeugte Objekte.- 17.6 Natürliche Transformationen mit Parametern.- 17.7 Tensorprodukte über kleinen Kategorien.- 17.8 Verwandte des Tensorprodukts.- 18. Grundzüge der Universellen Algebra.- 18.1 Algebraische Theorien.- 18.2 Yoneda-Einbettung und freie Algebren.- 18.3 Unteralgebren und Covollständigkeit.- 18.4 Differenzcokerne und Kernpaare.- 18.5 Algebraische Funktoren und Linksadjungierte.- 18.6 Semantik und Struktur.- 18.7 Kronecker-Produkt.- 18.8 Charakterisierung algebraischer Kategorien.- 19. Kalkül von Brüchen.- 19.1 Kategorien von Brüchen.- 19.2 Kalkül von Linksbrüchen.- 19.3 Zerlegung von Funktoren und Saturation.- 19.4 Beziehungen zu Unterkategorien.- 19.5 Additivität und Exaktheit.- 19.6 Lokalisation in abelschen Kategorien.- 19.7 Charakterisierung der Grothendieck-Kategorien mit Generator.- 20. Grothendieck-Topologien.- 20.1 Siebe und Topologien.- 20.2 Bedeckende Morphismen und Garben.- 20.3 Zu einer Prägarbe assoziierte Garbe.- 20.4 Erzeugung von Topologien.- 20.5 Prätopologien.- Literatur.