differenzierbar, wenn es eine in Xo stetige Abbildung x -+ ,1. Pds. von U in den dual en Raum Hom (JRn, JR) gibt, so daB /(x)=f(xo)+,1x(x-x ) o gilt. Diese Definition ilbertragt sich auf den Fall, wo Xo Punkt eines separierten topologischen Vektorraumes E ist und die Werte von f in einem ebensolchen Vektorraum F liegen. Man hat dazu den Raum Hom (E, F) der stetigen linearen Ab bildungen von E in F mit einer Pseudotopologie zu versehen 1: Man betrachtet z. B. genau die Filter Pds. auf Hom (E, F) als gegen 0 kon vergent, die folgende Eigenschaft haben: Fur jeden Filter ~ auf Emit m· ~ -+ 0 gilt Pds. (~) -+ 0 in F. Dabei ist m der Filter der Nullumge bungen in JR, m· ~ wird von den N A mit N E m und A E ~ erzeugt, Pds. (~) von den L (A) = u A. (A) mit L E Pds. und A E~. Man kann nun die Differenzierbarkeit ~~~au wie oben definieren, nur ist unter x -+ ,1x jetzt eine in Xo stetige Abbildung von U in Hom (E, F) zu verstehen. Man zeigt: Da die naturliche Abbildung Hom(E,F)XE-+F stetig ist, ist ,1xo eindeutig bestimmt und kann als Ableitung von f im Punkt Xo bezeichnet werden. Auch jetzt folgt aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit; es gilt die Kettenregel.

Autorentext
Hans Grauert studierte in Münster und Zürich, wo er 1958 promovierte. Seit dem 1. Oktober 1959 war er bis zu seiner Emeritierung ordentlicher Professor in Göttingen. Er hatte Gastprofessuren u.a. in Princeton und Paris. Er gilt als einer der bedeutendsten deutschen Mathematiker der Nachkriegszeit. Sein Spezialgebiet ist die Funktionentheorie mehrerer 'Veränderlicher'.

Inhalt
Erstes Kapitel. Wege im ?n.- § 1. Der n-dimensionale Raum.- § 2. Wege.- § 3. Bogenlänge.- § 4. Der ausgezeichnete Parameter.- § 5. Spezielle Kurven.- § 6. Tangente und Krümmung.- Zweites Kapitel. Topologie des ?n.- § 1. Umgebungen.- § 2. Kompakte Mengen.- § 3. Punktfolgen.- § 4. Funktionen. Stetigkeit.- § 5. Funktionenfolgen.- § 6. Abbildungen.- Drittes Kapitel. Differentialrechnung mehrerer Veränderlichen.- § 1. Differenzierbarkeit.- § 2. Elementare Regeln.- § 3. Ableitungen höherer Ordnung.- § 4. Die Taylorsche Formel.- § 5. Die Taylorsche Reihe.- § 6. Lokale Extrema.- § 7. Einige unendlich oft differenzierbare Funktionen.- Viertes Kapitel. Tangentialvektoren und reguläre Abbildungen.- § 0. Einiges aus der linearen Algebra.- § 1. Derivationen.- § 2. Transformation von Tangentialvektoren.- § 3. Pfaffsche Formen.- § 4. Reguläre Abbildungen.- § 5. Umkehrabbildungen.- § 6. Gleichungssysteme und implizite Funktionen.- § 7. Extrema bei Nebenbedingungen.- Fünftes Kapitel. Einige Typen gewöhnlicher Differentialgleichungen.- § 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 3. Variablentransformation.- § 4. Die Riccatische Differentialgleichung.- § 5. Allgemeine Klassen von Differentialgleichungen.- § 6. Komplexwertige Funktionen.- § 7. Die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- Sechstes Kapitel. Existenzsätze.- § 1. Gleichartig stetige Funktionen.- § 2. Der Existenzsatz von Peano.- § 3. Die Lipschitz-Bedingung.- § 4. Verlauf der Integralkurven im Großen.- § 5. Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen.- § 6. Die allgemeine Lösung.- § 7. Die Stammfunktion einer Differentialgleichung.- SiebtesKapitel. Lösungsmethoden.- § 1. Pfaffsche Formen.- § 2. Reguläre Punkte einer Pfaffschen Form.- § 3. Der Eulersche Multiplikator.- § 4. Differenzierbare Transformationen.- § 5. Singularitäten Pfaffscher Formen.- § 6. Das Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf.- § 7. Lösung durch Potenzreihenansatz.- Achtes Kapitel. Systeme von Differentialgleichungen, Differentialgleichungen höherer Ordnung.- § 1. Systeme von expliziten Differentialgleichungen erster Ordnung Existenz- und Eindeutigkeitssätze.- § 2. Lineare Systeme erster Ordnung.- § 3. Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten.- § 4. Explizite gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.- § 5. Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- A. Die Besselsche Differentialgleichung.- B. Die Legendresche Differentialgleichung.- C. Die Schrödinger-Gleichung.- Literatur.- Wichtige Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.