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Numerische Mathematik

  • Kartonierter Einband
  • 449 Seiten
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Beschreibung

Dieser Band Numerische Mathematik hat Prinzipien des numerischen Rechnens, numerische lineare Algebra und Näherungsmethoden in der Analysis zum Inhalt. Der Begriff der Approximation zieht sich als roter Faden durch den gesamten Text. Die Betonung liegt dabei weniger auf der Bereitstellung möglichst vieler Algorithmen als vielmehr auf der Vermittlung mathematischer Überlegungen, die zur Konstruktion von Verfahren führen. Jedoch werden auch der algorithmische Aspekt und entsprechende Effizienzbetrachtungen gebührend berücksichtigt.
Durch den umfangreichen dargebotenen Stoff ist das Buch nicht nur für eine einsemestrige Vorlesung interessant, sondern auch als studienbegleitendes Handbuch geeignet.
Besondere Erwähnung verdienen die zahlreichen historischen Anmerkungen sowie die motivierenden Erklärungen und aufgezeigten Querverbindungen zu anderen Themen.
Besonders zur intensiven Prüfungsvorbereitung geeignet!

Inhalt
'1. Rechnen.-
1. Zahlen und ihre Darstellung.- 1.1 Zahldarstellung zu beliebiger Basis.- 1.2 Realisierung von Zahldarstellungen auf Rechenhilfsmitteln.- 1.3 Rechnen im Dualsystem.- 1.4 Festkomma-Arithmetik.- 1.5 Gleitkomma-Arithmetik.- 1.6 Aufgaben.-
2. Operationen mit Gleitkommazahlen.- 2.1 Die Rundungsvorschrift.- 2.2 Verknüpfung von Gleitkommazahlen.- 2.3 Numerisch stabile bzw. instabile Auswertung von Formeln.- 2.4 Aufgaben.-
3. Fehleranalysen.- 3.1 Die Kondition eines Problems.- 3.2 Abschätzung der Rundungsfehler durch Vorwärtsanalyse.- 3.3 Die Rückwärtsanalyse des Rundungsfehlers.- 3.4 Intervallarithmetik.- 3.5 Aufgaben.-
4. Algorithmen.- 4.1 Der euklidische Algorithmus.- 4.2 Bewertung von Algorithmen.- 4.3 Komplexität von Algorithmen.- 4.4 Berechnung der Komplexität einiger Algorithmen.- 4.5 Ein Konzept zur Verbesserung der Komplexitätsordnung.- 4.6 Schnelle Matrixmultiplikation.- 4.7 Aufgaben.- 2. Lineare Gleichungssysteme.-
1. Das Eliminationsverfahren nach Gauß.- 1.1 Notation und Aufgabenstellung.- 1.2 Der Rechenprozeß.- 1.3 Das Gaufische Verfahren als Dreieckszerlegung.- 1.4 Einige spezielle Matrizen.- 1.5 Bemerkungen zur Pivotsuche.- 1.6 Komplexität des Gaußschen Algorithmus.- 1.7 Aufgaben.-
2. Die Cholesky-Zerlegung.- 2.1 Erinnerung an Bekanntes über positiv definite (n × n)-Matrizen.- 2.2 Der Satz von der Cholesky-Zerlegung.- 2.3 Komplexität der Cholesky-Zerlegung.- 2.4 Aufgaben.-
3. Die QR-Zerlegung nach Householder.- 3.1 Householder-Matrizen.- 3.2 Die Grundaufgabe.- 3.3 Der Algorithmus nach Householder.- 3.4 Komplexität der QR-Zerlegung.- 3.5 Aufgaben.-
4. Vektornormen und Normen von Matrizen.- 4.1 Normen auf Vektorräumen.- 4.2 Die natürliche Norm einer Matrix.- 4.3 Spezielle Normen von Matrizen.- 4.4 Aufgaben.-
5. Fehlerabschätzungen.- 5.1 Kondition einer Matrix.- 5.2 Eine Fehlerabschätzung bei gestörter Matrix.- 5.3 Brauchbare Lösungen.- 5.4 Aufgaben.-
6. Schlechtkonditionierte Probleme.- 6.1 Die Singulärwertzerlegung einer Matrix.- 6.2 Pseudonormallösungen linearer Gleichungssysteme.- 6.3 Die Pseudoinverse einer Matrix.- 6.4 Zurück zu linearen Gleichungssystemen.- 6.5 Verbesserung der Kondition und Regularisierung eines linearen Gleichungssystems.- 6.6 Aufgaben.- 3. Eigenwerte.-
1. Reduktion auf Tridiagonal- bzw. Hessenberg-Gestalt.- 1.1 Das Householder-Verfahren.- 1.2 Berechnung der Eigenwerte von Tridiagonalmatrizen.- 1.3 Berechnung der Eigenwerte von Hessenberg-Matrizen.- 1.4 Aufgaben.-
2. Die Jacobi-Rotation; Eigenwertabschätzungen.- 2.1 Das Jacobi-Verfahren.- 2.2 Abschätzungen der Eigenwerte.- 2.3 Aufgaben.-
3. Die Potenzmethode.- 3.1 Ein iterativer Ansatz.- 3.2 Berechnung der Eigenvektoren und weiterer Eigenwerte.- 3.3 Der Rayleigh-Quotient.- 3.4 Aufgaben.-
4. Der QR-Algorithmus.- 4.1 Konvergenz des QR-Algorithmus.- 4.2 Bemerkungen zum LR-Algorithmus.- 4.3 Aufgaben.- 4. Approximation.-
1. Vorbereitungen.- 1.1 Normierte Vektorräume.- 1.2 Banachräume.- 1.3 Hilberträume und Prae-Hilberträume.- 1.4 Die Räume Lp[a, b]130.- 1.5 Lineare Operatoren.- 1.6 Aufgaben.-
2. Die Approximationssätze von Weierstraß.- 2.1 Approximation durch Polynome.- 2.2 Der Approximationssatz für stetige Punktionen.- 2.3 Der Gedankenkreis von Korovkin.- 2.4 Anwendungen des Satzes.3..- 2.5 Approximationsgüte.- 2.6 Aufgaben.-
3. Das allgemeine Approximationsproblem.- 3.1 Beste Näherungen.- 3.2 Existenz eines Proximums.- 3.3 Eindeutigkeit des Proximums.- 3.4 Lineare Approximation.- 3.5 Eindeutigkeit in endlichdimensionalen linearen Unterräumen.- 3.6 Aufgaben.-
4. Gleichmäßige Approximation.- 4.1 Approximation durch Polynome.- 4.2 Haarsche Räume.- 4.3 Der Alternantensatz.- 4.4 Eindeutigkeit.- 4.5 Eine Abschätzung.- 4.6 Berechnung des Proximums.- 4.7 Tschebyschev-Polynome 1. Art.- 4.8 Entwicklung nach Tschebyschev-Polynomen.- 4.9 Konvergenz der Proxima.- 4.10 Zur nichtlinearen Approximation.- 4.11 Bemerkungen zur Approximationsaufgabe in (C[

Produktinformationen

Titel: Numerische Mathematik
Autor:
EAN: 9783540580331
Format: Kartonierter Einband
Herausgeber: Springer, Berlin
Genre: Sonstiges
Anzahl Seiten: 449
Gewicht: 690g
Größe: H235mm x B235mm x T155mm
Auflage: 4. Aufl.

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