Mathematik für Lehrer in Ausbildung und Praxis

Fur eine aktive und kommunikative Padagogik Dieses Werk ist fUr die Ausbildung des ktinftigen Mathematiklehrers an den Hoheren Schulen bestimmt; das Ziel ist es, ihn dazu anzuregen, sich tiber die verschiedenen Aspekte seines zuktinftigen Berufes bewuBt zu werden. Nach kybernetischer Auffassung kann die menschliche Tiitigkeit wie ein fortwiihrender Informationsaustausch, das Lehren wie eine Weitergabe von Kenntnissen beschrieben werden, was den Akzent nicht nur auf die Mitteilungen setzt, sondern auch auf die Sender und Em pfanger. So gesehen erscheinen letztere wie tatsiichliche Maschinen zur Informationsverar beitung, welche die neue Information mit den im Gediichtnis gespeicherten Kenntnissen kombinieren. Die Antwort stellt ihrerseits eine neue Nachricht dar, welche auf den Sender einwirkt: es kommt zum sogenanntenfeed-back. Dieses Buch legt die Mathematik nicht urn ihrer selbst willen dar, sondern im Hinblick auf den Lehramtsanwiirter und seine ktinftige Klasse an Ober- oder Mittelschule. Die piidagogi schen Qualitiiten des Lehrers zeigen sich in seiner Fiihigkeit, sich seinem Zuhorerkreis anzu passen, die Reaktionen seiner Schiller wieder aufzunehmen, die dynamische Initiative seiner Klasse zu wecken und sich selbst dank dieses Wechselspiels aus- und weiterzubilden. Das Er werben von Kenntnissen lost ein aktives Verhalten bei Lehrer und Lernendem aus (A 1). Die herkomrnlichen Lehrbticher der Mathematik haben keine derartige Absicht. GemiiB dem Ziel der Piidagogik im Vorlesungsstil streben sie nach einem logischen Aufbau des In haltsund nach der Schiirfe der Beweise. Sie bemtihen sich, kurze klare Siitze zu formulieren, ohne Zweideutigkeit, und tiberlassen es dann dem Leser, den Text zu verstehen.

Inhalt
0 Die mathematische Tätigkeit.- I Verschiedene Gesichtspunkte des Mathematiker-Berufes.- II Was ist ein Problem?.- III Sich selbst Probleme stellen.- IV Die Heuristik.- V Mathematische Techniken.- VI Der Mathematik-Unterricht.- VII Lesen und Verfassen mathematischer Texte.- VIII Die Theorie und die Praxis.- 1 Die mathematische Sprache.- I Die Funktionen der Sprache.- II Motivationen für das Studium der Sprachen.- III Algorithmische Rolle der Sprache.- IV Übersicht über die Beschreibung der Sprachen.- V Übliche Grammatik und mathematische Sprache.- VI Formalisierte Sprachen.- VII Abkürzungen.- VIII Das Paradoxon von Richard.- IX Substitution.- X Über einige Inkohärenzen von Bezeichnungen.- XI Stumme Variable.- 2 Logik.- I Die Wahrheit.- II Mathematische Theorien.- III Die Aussagenlogik.- IV Andere Beispiele mathematischer Theorien.- V Quantoren.- VI Übliche Logik.- VII Der Syllogismus.- VIII Das Gegenbeispiel.- 3 Mengenlehre.- I Der naive Standpunkt und seine Nachteile.- II Die Sprache der Mengenlehre.- III Die ersten Axiome und deren Konsequenzen.- IV Bestimmung einer Menge durch eine mengentheoretische Relation.- V Andere Konstruktionen von Mengen.- VI Geordnete Paare.- VII Quotientenmenge.- VIII Geordnete Mengen.- IX Das Auswahlaxiom.- X Kardinalzahlen.- XI Endliche Mengen.- XII Das Peanosche Axiomensystem.- XIII Das Unendliche und die Beweisführung durch vollständige Induktion.- XIV Vergleich von beliebigen Mengen.- XV Abzählbarkeit.- 4 Metrische und Topologische Fragen.- I Topologie für den angehenden Lehrer.- II Motivation für die Einführung der metrischen Räume.- III Beispiele von Metriken.- IV Stetige Abbildungen.- V Homöomorphie.- VI Orientierung.- VII Der reelle projektive Raum.- VIII Unendlich ferne Punkte.- IX Verschiedene Konzeptionendes Kurven-Begriffs.- X Einige singuläre Kurven.- XI Längen und Flächeninhalte.- XII Einige didaktische Geometrien.