Integralgleichungen

Das Buch tiber Integralgleichungen, das ich hier vorlege, ist aus sechs doppelstiindigen Vorlesungen entstanden, die ich im AuBeninstitut der Technischen Hochschule Berlin im Friihjahr 1937 gehalten habe. Solche Vorlesung~n haben den Zweck, Herren, die mitten in der Praxis stehen, in einen ihnen weniger bekannten Gegenstand einzufiihren und zu zeigen, wie man ihn verwenden kann. Der Besuch zeigte, daB fiir Integralgleichungen bei Ingenieuren und Physikern Interesse besteht, und so folgte ich de!ll Angebot der Verlagsbuchhandlung Julius Springer, die Vorlesungen herauszugeben. Das Buch soIl durchaus den Charakter der Vorlesungen behalten. Daraus folgt, daB es im iiblichen Sinn kein Lehrbuch ist und noch weniger ein Handbuch, auch nicht ein solches der Angewandten Mathematik. Es soIl in den Gegenstand einfiihren, und zwar vor aHem Manner der Praxis, denen eine schOne Anwendung wichtiger ist als ein langer Existenz beweis. Darum stehen am Beginn stets einzelne bestimmte Aufgaben, auch sind die Methoden der Rechnung betont, die Gedanken rein mathe matischer Art sind herausgearbeitet, die Beweise fehlen nicht, soweit sie' zum Verstandnis wichtig sind, aber sie kommen oft spater. auch sind bewuBt Liicken gelassen, doch nur solche, die der Mathematiker emp findet; ich hoffe auBerdem, sie tiberall angegeben zu haben. Daher kann auch der Student der Mathematik das Buch benutzen, namentlich den ersten Teil; er moge nur die Originalarbeit von ERHARDT SCHMIDT dane ben legen.

Inhalt
Inhaltsübersicht.- Erster Teil. Was ist eine Integralgleichung? Ergebnisse der mathematischen Theorie, insbesondere bei den linearen Integralgleichungen zweiter Art mit symmetrischem Kern.- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Einfachste Schwingungsaufgaben führen auf eine Uneare Integralgleichung mit symmetrischem Kern.- a) Eine Integralgleichung erster Art.- b) Eine Integralgleichung zweiter Art.- c) Differentialgleichung der schwingenden Saite. Der Fundamentalsatz für symmetrische Integralgleichungen zweiter Art.- d) Die inhomogene Integralgleichung. Ankündigung des Alternativsatzes.- 3. Zusammenhang mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- a) Die allgemeine Differentialgleichung erster Ordnung und eine Volterrasehe Integralgleichung.- b) Die Differentialgleichung zweiter Ordnung.- c) Die verallgemeinerte Schwingungsgleichung $$\frac{{\partial ^2 U}}{{\partial x^2 }} + p(x) \cdot \frac{{\partial U}}{{\partial x}} + q(x) \cdot U = r(x) \cdot \frac{{\partial ^2 U}}{{\partial t^2 }}$$.- 4. Der elementare Teil der Theorie.- a) Die Neumannsche Reihe.- b) Der lösende Kern.- c) Ein negatives Ergebnis; die umgestellte Gleichung. Orthogonalität von Funktionen.- d) Die Volterrasche Integralgleichung. Vererbungserscheinungen.- e) Zusammenstellung der Hauptsätze.- 5. Die Beziehungen der Integralgleichungen zu den partiellen Differentialgleichungen der Physik und andere physikalische Anwendungen.- a) Die erste Randwertaufgabe der Potentialtheorie in der Ebene.- b) ?u = f. Greensche Funktion.- c) Membran und Platte.- d) Der Skineffekt.- e) Hilberts Begründung der elementaren Strahlungstheorie.- 6. Durchführung der Theorie für die symmetrischen Kerne.- a) Der Fundamentalsatz. Berechnung des niedrigsten Eigenwertes. Die Schwarzsche Ungleichheit.- b) Realität der Eigenwerte, Orthogonalität der Eigenfunktionen.- c) Das Orthogonalisierungsverfähren.- d) Frage der Entwickelbarkeit einer willkürlichenFunktion nach den Eigenfunktionen eines Kerns.- e) Besselsche Ungleichheit. Parsevalsche Gleichung. Vollständigkeit.- f) Konvergenzsätze über die Entwicklung der Kerne bei bestimmten Voraussetzungen.- g) Beweise.- h) Die Antwort auf 6d). Nachtrag zu 6a).- i) Die Auflösung der inhomogenen Gleichung. Partialbruchzerlegung des lösenden Kerns. Der Alternativsatz Fredholms für symmetrische Kerne.- k) Positiv-definite Kerne. Abgeschlossenheit. Variationsprinzipe von Gauss-Hilbert und Dirichlet-Rayleigh. Der Mercersche Satz.- Zweiter Teil. Weitergehende Ausführungen.- 1. Die lineare Integralgleichung erster Art.- Anhang zu l: Wie erkennt man lineare Abhängigkeit ? Die Gramsche Determinante.- 2. Ausgeartete unsymmetrische Integralgleichungen zweiter Art.- 3. Die Fredholmsche Theorie.- 4. Das Verfahren von Enskog.- 5. E. Schmidts Theorie der unsymmetrischen Kerne.- 6. Quellenmäßige Darstellbarkeit und Entwickelbarkeit.- 7. Die polare Integralgleichung.- 8. Hilberts erster Weg über ein algebraisches Problem zur Lösung linearer Integralgleichungen.- 9. Die Methode der unendlich vielen Variablen. Der Hilbertsche Raum.- 10. Unendlich viele lineare Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten..- 11. Die Mathieusche Gleichung.- 12. Abels Integralgleichung.- 13. Singulare Kerne. Beispiele.- 14a. Eine Integralgleichung aus der Theorie der Tragflügel.- 14b. Die Integralgleichung von L. Föppl. (Härteproblem von Hertz).- 15. Einige weitere Orthogonalsysteme und ihre Kerne.- 16. Das Schwingungsproblem von Duffing.- 17. Nichtlineare Integralgleichungen.- Namenverzeichnis.