Kontinuierliche Geometrien

Bisher beruhte die projektive Geometrie auf den Grundbegriffen Punkt, Gerade usw. , und man glaubte, nicht auf diese Grundbegriffe verzichten 1 zu konnen. 1m Jahre 1935 zeigten BIRKHOFF und MENGER ), daB die projektive Geometrie yom Standpunkt der Verbandstheorie betrachtet ein irreduzibler endlichdimensionaler komplementarer modularer Ver band ist. Hier ist der Grundbegriff die "Ordnung", die z. B. besagt, daB ein Punkt in einer Geraden "enthalten" ist, und wegen der Beschrankung auf endlich viele Dimensionen konnen Punkte, Geraden usw. auftreten. Es muBte also unter Verzicht auf diese Beschrankung moglich sein, eine neue Geometrie aufzustellen, die verbandstheoretisch wie die projektive Geometrie gebaut ist, in der es aber keine Punkte und Geraden gibt. Die Aufstellung einer solchen Geometrie erwies sich aber keineswegs als leicht. J. VON NEUMANN2) 16ste 1936-1937 das schwierige Problem. Wenn man die Dimensionsbezeichnungen ein wenig andert, konnen die DimensionenderlinearenMengen (Punkte, Geraden usw. ) in einer (n-- dimensionalen proJ·ektiveri Geometrie die Werte 0, 2-,~, . . . , n-l, 1 n n n annehmen; d. h. , die Dimension der leeren Menge ist 0, die Dimension eines Punktes 2-, die einer Geraden ~, usf. , die des ganzen Raumes n n schlieBlich 1. VON NEUMANN zeigte, daB man als Dimension der Ele mente eines stetigen irreduziblen komplementaren modularen Verb andes alle reellen Zahlen von 0 bis 1 nehmen kann. Da es dann Elemente gibt, deren Dimension der 0 beliebig nahekommt, kann der Begriff "Punkt" nicht mehr auftreten. Damit hat man eine kontinuierliche Geometrie (im engeren Sinne).

Inhalt
I. Grundbegriffe der Verbandstheorie.- § 1. Einige Definitionen in Verbänden.- § 2. Direktes Produkt und direkte Summe von Verbänden.- § 3. Das Zentrum von Verbänden.- § 4. Kongruenzen in Verbänden.- § 5. Darstellung von Verbänden durch Mengen.- § 6. Metrische Verbände.- II. Allgemeine Eigenschaften modularer Verbände.- § 1. Unabhängige Systeme in modularen Verbänden.- § 2. Perspektivität in modularen Verbänden.- § 3. Perspektive Abbildungen in modularen Verbänden.- § 4. Zerlegung eines modularen Verbandes.- III. Projektive Räume.- § 1. Relativ atomare nach oben stetige Verbände.- § 2. Atomelemente modularer Verbände.- § 3. Projektive Räume.- IV. Die wesentlichsten Eigenschaften stetiger komplementärer modularer Verbände.- § 1. Vergleichs- und Zerlegungssatz eines nach oben stetigen komplementären modularen Verbandes.- § 2. Perspektivität in einem stetigen komplementären modularen Verband.- § 3. Niedrigste Elemente eines stetigen komplementären modularen Verbandes.- § 4. Der Dimensionsverband eines stetigen komplementären modularen Verbandes.- V. Die Dimensionsfunktion eines stetigen komplementären modularen Verbandes und seine Darstellung als subdirektes Produkt.- § 1. Die Dimensionsfunktion eines stetigen komplementären modularen Verbandes.- § 2. Die Dimensionsfunktion eines irreduziblen stetigen komplementären modularen Verbandes.- § 3. Die Eindeutigkeit der Dimensionsfunktion eines stetigen komplementären modularen Verbandes und seine Zerlegung in ein subdirektes Produkt.- VI. Reguläre Ringe.- § 1. Rechts- und Linksidealverbände eines Ringes.- § 2. Halbeinfache Ringe.- § 3. Reguläre Ringe.- § 4. Faktorkorrespondenz und Perspektivität in einem regulären Ring.- § 5. Rangfunktionen ein einem regulären Ring.-VII. Stetige reguläre Ringe.- § 1. Die Rangfunktion eines stetigen regulären Ringes.- § 2. Die Rangfunktion eines irreduziblen stetigen regulären Ringes.- § 3. Die Zerlegung eines stetigen regulären Ringes in ein subdirektes Produkt.- VIII. Der normierte Rahmen eines komplementären modularen Verbandes.- § 1. Die homogene Basis eines komplementären modularen Verbandes.- § 2. Der normierte Rahmen eines komplementären modularen Verbandes.- § 3. Projektive Abbildungen in einem normierten Rahmen.- IX. Der Matrizenring.- § 1. Die Basismatrizensysteme eines regulären Ringes.- § 2. Der Matrizenring.- § 3. Der Vektorraum.- X. Der Hilfsring eines komplementären modularen Verbandes.- § 1. Die Multiplikation von L-Zahlen.- § 2. Die Addition von L-Zahlen.- § 3. Die Distributivgesetze für L-Zahlen.- XI. Die Darstellung eines komplementären modularen Verbandes.- § 1. Die isomorphe Abbildung zwischen L(o, ak) und R?(SL).- § 2. Die Ausdrücke (?; ?(1),,y(m-1)).- § 3. Die isomorphe Abbildung von L auf R?(SnL).- XII. Die Darstellung eines orthokomplementären modularen Verbandes.- § 1. Orthokomplementäre modulare Verbände.- § 2. *-reguläre Ringe.- § 3. Die Darstellung eines orthokomplementären modularen Verbandes.- I. Auswahlaxion, Wohlordnungssatz, Zornsches Lemma.- II. Die Definition eines stetigen Verbandes.