Mathematische Behandlung einer angenäherten quasilinearen Potentialgleichung der ebenen kompressiblen Strömung

Ebene kompressible Strömungen in der Umgebung der Schallgeschwindigkeit, sog. transsonische Strömungen, sind von einer ganzen Reihe von Autoren be handelt worden. (Das Literaturverzeichnis enthält eine Auswahl aus der großen Zahl hierauf bezüglicher neuerer Arbeiten: [11], [12], [7], [27] bis [32], [26], [3], [10], [5], [8], [9], [21], [22], [33], [34)1. Es liegen auch bereits zusammenfassende Darstellungen vor ([6], [2)2, vgl. auch [13] und [20)). ) Doch handelt es sich um ein Problem von großem Schwierigkeitsgrad, und fast alle bisher vorliegenden Lösungen stellen nur Näherungslösungen dar bzw. sind nur zur Behandlung spezieller Aufgaben, z. B. Düsenströmungen, geeignet. Die im vorliegenden Bericht dargestellten Untersuchungen sollen einen weiteren Beitrag zur Behand lung solcher Aufgaben leisten. Ein Hauptziel aller Untersuchungen über trans sonische Strömungen ist die Entwicklung eines Rechenverfahrens, das die Be rechnung einer Strömung bei vorgegebenen Profilkanten unter einer parallelen Anströmung mit einer solchen Geschwindigkeit gestattet, daß ein Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit zu erwarten ist. Diese Aufgabe führt auf ein Randwertproblem einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung von gemischtem Typ. Wenn auch die Lösung solcher nichtlinearen Aufgaben unmittelbar in der Stromebene noch nicht allgemein möglich ist (vgl. hierzu jedoch [33)), so liegen doch Ansätze zur Behandlung in einer ge eigneten Bildebene vor. Durch die Transformation der Stromebene auf diese Bildebene wird der nichtlinearen Differentialgleichung eine lineare zugeordnet, wobei jedoch die zugeordnete Randwertaufgabe in eine solche mit freiem Rand übergeht. Eine solche Transformation ist von TRICOMI angegeben worden. Sie wird inI. 2 kurz dargestellt.

Klappentext

Ebene kompressible Strömungen in der Umgebung der Schallgeschwindigkeit, sog. transsonische Strömungen, sind von einer ganzen Reihe von Autoren be­ handelt worden. (Das Literaturverzeichnis enthält eine Auswahl aus der großen Zahl hierauf bezüglicher neuerer Arbeiten: [11], [12], [7], [27] bis [32], [26], [3], [10], [5], [8], [9], [21], [22], [33], [34)1. Es liegen auch bereits zusammenfassende Darstellungen vor ([6], [2)2, vgl. auch [13] und [20)). ) Doch handelt es sich um ein Problem von großem Schwierigkeitsgrad, und fast alle bisher vorliegenden Lösungen stellen nur Näherungslösungen dar bzw. sind nur zur Behandlung spezieller Aufgaben, z. B. Düsenströmungen, geeignet. Die im vorliegenden Bericht dargestellten Untersuchungen sollen einen weiteren Beitrag zur Behand­ lung solcher Aufgaben leisten. Ein Hauptziel aller Untersuchungen über trans­ sonische Strömungen ist die Entwicklung eines Rechenverfahrens, das die Be­ rechnung einer Strömung bei vorgegebenen Profilkanten unter einer parallelen Anströmung mit einer solchen Geschwindigkeit gestattet, daß ein Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit zu erwarten ist. Diese Aufgabe führt auf ein Randwertproblem einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung von gemischtem Typ. Wenn auch die Lösung solcher nichtlinearen Aufgaben unmittelbar in der Stromebene noch nicht allgemein möglich ist (vgl. hierzu jedoch [33)), so liegen doch Ansätze zur Behandlung in einer ge­ eigneten Bildebene vor. Durch die Transformation der Stromebene auf diese Bildebene wird der nichtlinearen Differentialgleichung eine lineare zugeordnet, wobei jedoch die zugeordnete Randwertaufgabe in eine solche mit freiem Rand übergeht. Eine solche Transformation ist von TRICOMI angegeben worden. Sie wird in I. 2 kurz dargestellt.

Inhalt
I. Herleitung der Differentialgleichungen zweier idealisierter Gase.- 1. Das idealisierte Gas (O).- 2. Das idealisierte Gas (T).- II. Unmittelbare Behandlung in der Stromebene.- 3. Die durch Separation zu gewinnenden Partikulärlösungen.- 4. Anwendung des Differenzenverfahrens in der Stromebene.- III. Behandlung in der Hodographenebene.- 5. Allgemeine Überlegungen über die Gestalt der Lösungen in der Hodographenebene, welche zur Beschreibung physikalisch sinnvoller Strömungen des Gases (O) geeignet sind.- 6. Partikuläre Lösungen der Tricomischen Gleichung und die zugeordneten Strömungen des Gases (O).- IV. Das freie Randwertproblem in der Hodographenebene.- 7. Formulierung des Problems.- 8. Verfahren zur Lösung des freien Randwertproblems.- 9. Zusammenhang zwischen dem Eindeutigkeitstheorem der Tricomischen Gleichung und schallnahen Strömungen.- 10. Numerisches Beispiel eines freien Randwertproblems.- Zusammenfassung.- Tabellen 110.