Numerische Mathematik für Informatiker

Dieses Buch ist aus einem Fernstudienkurs entstanden, den ich seit dem Winterse mester 1989/90 in jährlichem Rhythmus den Studenten der FernUniversität Ha gen im Diplomstudiengang Informatik als dritten Teil eines viersemestrigen Zy klus "Mathematik für Informatiker I-IV" anbiete. Form, Aufbau und Inhalt die ses Buches lassen seine Genesis erkennen; es ist in manchem anders als die mei sten Lehrbücher über Numerik: Ein Fernstudienkurs muß selbstinstruierend sein, so daß der Lehrstoff etwas breiter als üblich dargestellt ist. Insbesondere sind viele Beispiele und Aufgaben, die teilweise auch Beweise vervollständigen, mit knappen Lösungshinweisen aufgeführt. Auch die zahlreichen Abbildungen und Tabellen un terstreichen den selbstinstruierenden Charakter dieses Buches. Ein Fernstudienkurs sollte, was den dargebotenen Lehrstoff anbelangt, weitgehend autark sein und nur die Anfängervorlesungen als Grundlage voraussetzen. Der Leser findet deshalb an einigen Stellen kurze" Ausflüge" in andere Gebiete der Mathematik, mit denen die Numerik fundiert wird, die aber andernorts verzichtbar sind, da sie den Studen ten bei einem breiteren Mathematikangebot bereits vertraut sein müßten. Zentrale Begriffsbildungen müssen ohnedies von der konstruktiven Seite beleuchtet werden, auch wenn sie schon unter "reinen Aspekten" (Axiomatik, Existenz, Eindeutigkeit) behandelt wurden. Schließlich sollte die Stoffauswahl "Klassik" und "Moderne", grundlegende numerische Verfahren und aktuelle, computerbezogene Algorithmen verbinden. Der Nachdruck liegt dabei auf der Nähe zur Informatik: Großen Raum nehmen die mathematischen Grundlagen von Kurven-und Flächendarstellungen mit Hilfe von Splines, die Behandlung von periodischen Vorgängen mittels FFT sowie die speziellen Techniken für große, schwach besetzte lineare Gleichungssysteme ein.

Klappentext

Dieses Lehrbuch entstand aus der Zielsetzung, f}r Studierende der Informatikmit noch geringen Mathematik-Kenntnissen im zweiten Studienjahr eine in sich geschlossene Vorlesung in Numerik zu gestalten. Dabei waren die Bez}ge zur Informatik (Problem aus der Informatik, Anwendung in der Informatik) deutlich herauszuarbeiten. Die aktuelle Einf}hrung in die Numerische Mathematik wendet sich vor allem an Studierende der Informatik, aber auch der Mathematik und naturwissenschaftlicher und technischer Disziplinen an Universit{ten und Fachhochschulen sowie an Software-Entwickler, insbesondere im Bereich der Computergraphik, undan Informatiklehrer. Ein besonderer Schwerpunkt liegt - der wachsenden Bedeutung angemessen - auf den mathematischen Grundlagen von Graphik-Algorithmen (Splines, Bezier-Techniken, Generierung von Kurven und Fl{chen mit Hilfe von B-Splines). Dieser hochaktuelle Problemkreis (CAD, Animation) ist in dieser Breite und Tiefe in keinem anderen Numerik-Lehrbuch abgehandelt. Breiten Raum nimmt auch die Behandlung Linearer Gleichungssysteme ein, insbesondere die speziellen Techniken zur Behandlung gro~er, schwach besetzter (sparse) Matrizen mit graphentheoretischen Methoden (Speichertechnik, Reduktion von Bandbreite und Profil, Kontrolle des Fill-in durch symbolische Faktorisierung). Ein weiterer Schwerpunkt ist der FFT-Algorithmus als Beispiel eines "schnellen" Algorithmus. Daneben werden auch die "klassischen" Gebiete der Numerik (Fehleranalyse, Polynome und rationale Funktionen, Lineare Rekursionen, Interpolation und Quadratur, Approximation und Funktionsroutinen, Least squares, Nichtlineare Gleichungen) in gen}gender Breite (mit Anwendungsbeispielen aus der Informatik) abgehandelt.

Inhalt
1 Fehleranalyse.- 1.1 Einleitung.- 1.2 Fehler.- 1.3 Fehlerfortpflanzung und Stabilität.- 1.4 Rundungsfehler bei Gleitkomma-Arithmetik.- 2 Polynome und rationale Funktionen.- 2.1 Einleitung.- 2.2 Polynome.- 2.3 ?ebyev-Polynome.- 2.4 Polynomauswertung.- 2.5 Rationale Funktionen.- 2.6 Numerische Stabilität von arithmetischen Ausdrücken.- 2.7 Lineare Rekursionen.- 3 Interpolation und Quadratur.- 3.1 Einleitung.- 3.2 Algebraische Interpolation.- 3.3 Die Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms.- 3.4 Integraldarstellung dividierter Differenzen und B-Splines.- 3.5 Interpolationsfehler.- 3.6 Quadratur mit Hilfe von Interpolation.- 3.7 Quadraturfehler.- 3.8 Gauß-Quadraturformeln.- 4 Splines und Graphik.- 4.1 Einleitung.- 4.2 Mathematische Filter.- 4.3 Bernstein-Polynome.- 4.4 Die Bézier-Darstellung eines Polynoms.- 4.5 Stückweise polynomiale Funktionen.- 4.6 Spline-Funktionen.- 4.7 Kubische B-Splines.- 4.8 Die Minimalkrümmungseigenschaft.- 4.9 Kubische Spline-Kurven und das Prinzip eines Zeichengenerators.- 4.10 Tensorierung und kubische Spline-Flächen.- 5 Periodizität und schnelle Fourier-Transformation.- 5.1 Einleitung.- 5.2 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen.- 5.3 Die N-ten Einheitswurzeln.- 5.4 Trigonometrische Interpolation.- 5.5 Der diskrete Fourier-Operator.- 5.6 Der FFT-Algorithmus.- 5.7 Schnelle Multiplikation großer Zahlen.- 6 Approximationsverfahren.- 6.1 Einleitung.- 6.2 Normierte Vektorräume.- 6.3 Existenz von Bestapproximationen.- 6.4 Skalarprodukte und unitäre Vektorräume.- 6.5 Approximation in unitären Vektorräumen.- 6.6 Fourier-?ebyev-Entwicklung stetiger Funktionen.- 6.7 Das Prinzip einer Log-Routine.- 7 Elimination und lineare Gleichungssysteme.- 7.1 Einleitung.- 7.2 Elementare Matrizen und Gleichungssysteme.- 7.3 DasGaußsche Eliminationsverfahren.- 7.4 Das Cholesky-Verfahren.- 7.5 Schnelle Matrix-Algorithmen.- 7.6 Ausgleichsrechnung.- 8 Schwach besetzte Matrizen und Graphen.- 8.1 Einleitung.- 8.2 Speicherungstechniken für schwach besetzte Matrizen.- 8.3 Graphen.- 8.4 Sortierung mit dem Cuthill-McKee-Algorithmus.- 8.5 Symbolische und numerische Cholesky-Faktorisierung.- 8.6 Schwach besetzte Least-squares-Probleme.- 9 Iteration und nichtlineare Gleichungen.- 9.1 Einleitung.- 9.2 Die Parabeliteration.- 9.3 Der Banachsche Fixpunktsatz.- 9.4 Lösung von nichtlinearen Gleichungen.- 9.5 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen.- 9.6 Das Prinzip einer Quadratwurzel-Routine.- Lösungshinweise.- Literatur.- Symbolverzeichnis.