Ein System, sei es technisch, physikalisch, biologisch, etc., das sich mit der Zeit verandert, wird als dynamisch bezeichnet. Die Untersuchung solcher Systeme gehort mit zu den wichtigsten Aufgaben, die in den Naturwissenschaften und der Technik zu - sen sind. Die Aufgabe des Ingenieurs besteht normalerweise da rin, ein dynamisches System zu entwickeln, das keine ungewollten Bewegungen ausfuhrt. Dabei wird er stets versuchen, den EinfluB unregelmaBigen Verhaltens zu kontrollieren und zu minimieren. Dazu werden Regelsysteme mit Erfolg eingesetzt, die oftmals auch nichtlineare Elemente enthalten. Zur Untersuchung der Dynamik ist naturlich eine gute Kenntnis der wesentlichen Systemparame ter und deren Zusammenwirken erforderlich. Um das Zusammenwirken aller betrachteten GroBen beurteilen zu konnen, benutzt man mathematische Madelle, die im Rahmen dieser Arbeit ausschlieB lich durch gewohnliche Differentialgleichungen oder Differen zengleichungen reprasentiert werden. Naturwissenschaftliche und technische Madelle dynamischer Syste me zielen in der Regel auf das Erklaren von Phanomenen realer Systeme. Zur Formulierung der zugehorigen mathematischen Madelle benutzt man Naturgesetze wie z. B. das Newtonsche Gesetz. Die daraus entstehenden Gleichungen werden, wenn immer das moglich ist, linearisiert. Man kann dann die Gesamtheit der Losungen durch einfache Superposition partikularer Losungen in analyti scher Form erhalten. Die Beschreibung von Modellen durch lineare Gleichungen bedeutet aber eine erhebliche Einschrankung der Lo sungsvielfalt. Neben harmonischen und fastperiodischen Bewegun gen kann nur exponentielles Aufschaukeln oder Abklingen auftre ten. Da sich in realen Systemen stets viele gleichzeitig wirken de Einflusse uberlagern, konnen komplexe Phanomene nur mit vie- len linearen Gleichungen, und auch dann nur ungentigend, be schrieben werden.

Inhalt
1 Einleitung.- 1.1 Literaturübersicht.- 1.2 Mathematische Beschreibung nichtlinearer dynamischer Systeme.- 1.3 Ziele der Arbeit.- 1.4 Inhalt der Arbeit.- 2 Mathematische Grundlagen.- 2.1 Grundbegriffe.- 2.2 Lineare Systeme.- 2.3 Invariante Unterräume.- 2.4 Nichtlineare Systeme.- 2.5 Lineare und nichtlineare Abbildungen.- 2.6 Poincaré-Abbildungen.- 2.7 Periodische Lösungen und Fixpunkte von Punktabbildungen.- 2.8 Asymptotisches Verhalten.- 3 Konservative Systeme.- 3.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen.- 3.2 Wirkungs-Winkelvariablen.- 3.3 Integrierbare und nichtintegrierbare Systeme.- 3.4 Kanonische Störungstheorie.- 3.5 Chaotisches Verhalten flächenbewahrender Abbildungen.- 3.6 Stabilität mehrdimensionaler Hamiltonscher Systeme.- 3.7 Hénon-Heiles System.- 4 Nichtkonservative Systeme.- 4.1 Attraktoren.- 4.2 Qualitative Änderung von Attraktoren.- 4.3 Charakterisierung von Attraktoren.- 4.4 Nichtautonomes System: Modifizierte Duffing-Gleichung.- 5 Fundamentale Untersuchungsmethoden.- 5.1 Übersicht über Näherungsverfahren.- 5.2 Zeitverläufe und Phasenportraits durch numerische Integration.- 5.3 Punktabbildungen.- 5.4 Leistungsspektren aus der Fourier-Analyse.- 5.5 Ljapunov-Exponenten.- 5.6 Dimension.- 5.7 Entropie und Kurzzeitvorhersagen.- 5.8 Kritische Wertung numerischer Ergebnisse.- 5.9 Nichtautonomes System: Modifizierte Duffing-Gleichung.- 6 Zellabbildungsmethode.- 6.1 Diskretisierung des Zustandsraumes.- 6.2 Einfache Zellabbildungsmethode.- 6.3 Allgemeine Zellabbildungsmethode.- 6.4 Zur Theorie der Markov-Ketten.- 6.5 Bemerkungen zum Rechenalgorithmus und Eigenschaften der allgemeinen Zellabbildung.- 6.6 Beispiele zur allgemeinen Zellabbildung.- 6.7 Erfahrungen mit der Zellabbildungsmethode.- 7 Zusammenfassung.- Literatur.