Zetafunktionen und quadratische Körper

Das Ziel dieses Buchs ist, die Theorie der binaren quadratischen For men, die im letzten Jahrhundert in ihren algebraischen Aspekten von GauB und in ihren analytischen Aspekten von Dirichlet entwickelt wurde, darzustellen. Diese Theorie, die frtiher zur normalen Ausbildung in der Mathematik gehorte, wird heute den Studenten oft nur als Beispiel ftir die moderne algebraische Zahlentheorie, analytische Zahlentheorie oder Klassenkorpertheorie prasentiert. Da sie aber eine groBe Schonheit be sitzt und aUBerdem elementar zuganglich ist, halte ich es ftir zweck maBiger, sie umgekehrt als Einftihrung in die genannten Gebiete zu be nutzen, die ja historisch aus ihr hervorgegangen sind. Da das Buch eine Einfuhrung sein solI, sind die voraussetzngen mi nimal gehalten, und zwar: - aus der Algebra die Grundbegriffe tiber Gruppen und Ringe und der Struktursatz fUr endlich erzeugte abelsche Gru~pen; - aus der komplexen Funktionentheorie eigentlich nur die Begriffe "holomorphe Funktion", "meromorphe Funktion", "Residuum" und "ana lytische Fortsetzung" (der eauchysche Integralsatz wird nie benutzt); - aus der Zahlentheorie etwa der Inhalt einer elementaren einsemestri gen Vorlesung, insbesondere Kongruenzen, Legendre-Symbol, quadrati sche Reziprozitat. Das Buch basiert auf Vorlesungen in Bonn (SS 1975) und Harvard (WS 1977) und ist als Vorlaufer eines umfassenderen Buches auf Englisch gedacht. Hanspeter Kraft, David Kramer und Winfried Kohnen, die Teile des Manuskripts gelesen und ausftihrlich kommentiert haben, mochte ich hier herzlich danken; vor allem gilt mein Dank Silke Suter fUr ihre Unterstutzung bei dem ganzen Unternehmen und fUr ihre Hilfe bei sprach lichen und darstellerischen Schwierigkeiten.

Klappentext

Das Ziel dieses Buchs ist, die Theorie der binaren quadratischen For­ men, die im letzten Jahrhundert in ihren algebraischen Aspekten von GauB und in ihren analytischen Aspekten von Dirichlet entwickelt wurde, darzustellen. Diese Theorie, die frtiher zur normalen Ausbildung in der Mathematik gehorte, wird heute den Studenten oft nur als Beispiel ftir die moderne algebraische Zahlentheorie, analytische Zahlentheorie oder Klassenkorpertheorie prasentiert. Da sie aber eine groBe Schonheit be­ sitzt und aUBerdem elementar zuganglich ist, halte ich es ftir zweck­ maBiger, sie umgekehrt als Einftihrung in die genannten Gebiete zu be­ nutzen, die ja historisch aus ihr hervorgegangen sind. Da das Buch eine Einfuhrung sein solI, sind die voraussetzngen mi­ nimal gehalten, und zwar: - aus der Algebra die Grundbegriffe tiber Gruppen und Ringe und der Struktursatz fUr endlich erzeugte abelsche Gru~pen; - aus der komplexen Funktionentheorie eigentlich nur die Begriffe "holomorphe Funktion", "meromorphe Funktion", "Residuum" und "ana­ lytische Fortsetzung" (der eauchysche Integralsatz wird nie benutzt); - aus der Zahlentheorie etwa der Inhalt einer elementaren einsemestri­ gen Vorlesung, insbesondere Kongruenzen, Legendre-Symbol, quadrati­ sche Reziprozitat. Das Buch basiert auf Vorlesungen in Bonn (SS 1975) und Harvard (WS 1977) und ist als Vorlaufer eines umfassenderen Buches auf Englisch gedacht. Hanspeter Kraft, David Kramer und Winfried Kohnen, die Teile des Manuskripts gelesen und ausftihrlich kommentiert haben, mochte ich hier herzlich danken; vor allem gilt mein Dank Silke Suter fUr ihre Unterstutzung bei dem ganzen Unternehmen und fUr ihre Hilfe bei sprach­ lichen und darstellerischen Schwierigkeiten.

Inhalt
I. Dirichletsche Reihen.- § 1 Dirichletsche Reihen: analytische Theorie.- § 2 Dirichletsche Reihen: formale Eigenschaften.- § 3 Die Gamma funktion.- § 4 Die Riemannsche Zetafunktion.- § 5 Charaktere.- § 6 L-Reihen.- § 7 Werte von Dirichletschen Reihen, insbesondere von L-Reihen, an negativen ganzen Stellen.- Literatur zu Teil I.- II. Quadratische Körper und ihre Zetafunktionen.- § 8 Binäre quadratische Formen.- § 9 Die Berechnung von L(1, ?) und die Klassenzahlformeln.- § 10 Quadratische Formen und quadratische Zahlkörper.- § 11 Die Zetafunktion eines quadratischen Körpers.- § 12 Geschlechtertheorie.- §13 Reduktionstheorie.- § 14 Werte von Zetafunktionen bei s = O, Kettenbrüche und Klassenzahlen.- Literatur zur Teil II.- Symbolverzeichnis.