Die Einflihrung der idealen Rander in der Theorie der Riemannschen FIachen solI der Erweiterung der Satze aus der Funktionentheorie auf den Fall der beliebigen Riemannschen Flachen dienen, und zwar jener Satze, die sich auf die relativen Rander der schlicht en Gebiete beziehen, wie z. B. das Dirichletsche Problem, das Poissonsche Integral, die Satze von FATOU-NEVANLINNA, BEURLING, PLESSNER, RIEsz. AuBer dem bieten sie ein wertvolles Untersuchungsmittel - mit einer starken intuitiven Basis - flir verschiedene Probleme der Riemannschen Flachen und ermoglichen eine einfachere und durchsichtigere Beweis flihrung. Diese doppeIte Funktion der idealen Rander flihrt zu ihrer Einteilung in zwei Kategorien. Die erste Kategorie besteht aus ein facheren und nattirlicheren idealen Randern, die im Fall der gentigend regularen schlicht en Gebiete mit den relativen Randern zusammenfallen. Sie erlauben die Ausdehnung der obenerwahnten klassischen Satze aus der Funktionentheorie auf den Fall der Riemannschen FIachen, flihren zu eleganten Aussagen, sind aber im allgemeinen unbequem zu hand haben. Die idealen Rander der zweiten Kategorie sind sehr kompliziert, flihren aber zu einfacheren Beweisen. Sie sind in einigen Klassifikations fragen sehr wertvoll.

Inhalt

Hilfsbegriffe und Bezeichnungen.- 1. Superharmonische Funktionen.- 2. Die Klasse H P.- 3. Das Dirichletsche Problem.- 4. Potentialtheorie.- 5. Energie und Kapazität.- 6. Wienersche Funktionen.- 7. Dirichletsche Funktionen.- 8. Ideale Ränder.- 9. Q-ideale Ränder.- 10. Q-Fatousche Abbildungen.- 11. Klassen von Riemannschen Flächen.- 12. Fortsetzung einer Potentialtheorie.- 13. Der Martinsche ideale Rand.- 14. Das Verhalten der analytischen Abbildungen auf dem Martinschen idealen Rand.- 15. Vollsuperharmonische Funktionen.- 16. Der Kuramochische ideale Rand.- 17. Potentialtheorie auf der Kuramochischen Kompaktifizierung.- 18. Das Verhalten der Dirichletsehen Abbildungen auf dem Kuramochischen idealen Rand.- 19. Das Randverhalten der analytischen Abbildungen des Einheitskreises.- Bezeichnungen.