Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver mehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929. R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der dritten Auflage ist die Theorie der Funk tionen einer komplexen Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent wickelt worden, vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu beeeintrachtigen.

Autorentext
Richard Courant was born in 1888 in a small town of what is now Poland, and died in New Rochelle, N.Y. in 1972. He received his doctorate from the legendary David Hilbert in Göttingen, where later he founded and directed its famed mathematics Institute, a Mecca for mathematicians in the twenties. In 1933 the Nazi government dismissed Courant for being Jewish, and he emigrated to the United States. He found, in New York, what he called "a reservoir of talent" to be tapped. He built, at New York University, a new mathematical Sciences Institute that shares the philosophy of its illustrious predecessor and rivals it in worldwide influence. For Courant mathematics was an adventure, with applications forming a vital part.

Inhalt
Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- Erstes Kapitel. Die komplexen Zahlen.- Zweites Kapitel. Die Potenzreihen.- Drittes Kapitel. Der Begriff der analytischen Funktion.- Viertes Kapitel. Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen.- Fünftes Kapitel. Die Integration analytischer Funktionen.- Sechstes Kapitel. Die meromorphen Funktionen.- Siebentes Kapitel. Die Umkehrung der analytischen Funktionen.- Zweiter Abschnitt. Elliptische Funktionen.- Erstes Kapitel. Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.- Zweites Kapitel. Die Theta-Funktionen.- Drittes Kapitel. Die elliptischen Funktionen Jacobis.- Viertes Kapitel. Die elliptischen Modulfunktionen.- Fünftes Kapitel. Elliptische Gebilde.- Sechstes Kapitel. Elliptische Integrale.- Siebentes Kapitel. Die Transformation der elliptischen Funktionen.- Dritter Abschnitt. Geometrische Funktionentheorie.- Erstes Kapitel Vorbereitende Betrachungen.- Zweites Kapitel. Die Grundlagen der Theorie der meromorphen Funktionen.- Drittes Kapitel. Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel.- Viertes Kapitel. Spezielle Funktionen und ihre Singularitäten.- Fünftes Kapitel. Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen.- Sechstes Kapitel. Die konforme Abbildung einfach zusammenhängender schlichter Gebiete.- Siebentes Kapitel. Spezielle Abbildungsfunktionen.- Achtes Kapitel. Die Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes. Das Dirichletsche Prinzip.- Neuntes Kapitel. Weitere Existenztheoreme der Funktionentheorie.- Einleitende Bemerkungen.- Erstes Kapitel. Weitere Abbildungstheoreme der Funktionentheorie.- § 1. Primenden und konforme Abbildung.- § 2. Randkomponenten und Schlitzabbildung.- § 3. Konforme Selbstabbildungen Riemannscher Flächen.- § 4. FuchsscheGruppen.- § 5. Moduln von Vierecken und Ringgebieten.- § 6. Quasikonforme Abbildungen.- § 7. Extremale quasikonforme Abbildungen.- Zweites Kapitel. Holomorphe und meromorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen.- § 1. Partialbruchzerlegung auf kompakten Riemannschen Flächen.- § 2. Der Riemann-Rochsche Satz.- § 3. Die Cauchyschen Integralformeln auf kompakten Riemannschen Flächen.- § 4. Holomorphe Vektorraumbündel und C-Prinzipalbündel.- § 5. Meromorphe Schnitte in holomorphen Geradenbündeln und C-Prinzipal-bündeln über kompakten Riemannschen Flächen.- § 6. Topologische Eigenschaften nicht kompakter Riemannscher Flächen..- § 7. Der Rungesche Approximationssatz.- § 8. Holomorphe Geradenbündel und C-Prinzipalbündel über nicht kompakten Riemannschen Flächen.- § 9. Automorphe Funktionen.- Namen- und Sachverzeichnis.