Funktionentheorie erkunden mit Maple®

Bei dieser Einführung in die Funktionentheorie handelt es sich um eine neue Lehrform, nicht um eine klassische Darstellung. Das Buch schlägt eine Brücke zur Computeranwendung und zu Maple. Dies beeinflusst die Struktur der einzelnen Kapitel. In einem Textteil wird - teils nur skizzenartig - die zugrundeliegende Theorie dargestellt und mit sorgfältig ausgewählten Beispielen illustriert. Hieran schließt sich der "Worksheet"-Teil an, in dem der vorangehende Stoff - mit Hilfe von Maple 7 - diskutiert wird. Auf diese Weise können auch anspruchsvollere Beispiele als üblich behandelt werden. Anhand ausgefeilter Worksheets mit "Maple vom Feinsten" wird gezeigt, wie man mit einem Computeralgebrasystem gestalten und Ideen umsetzen kann. Da die Funktionentheorie in vielen Fächern benötigt wird, spannen zahlreiche Beispiele - etwa zur Potentialströmung, Kutta-Joukowski-Transformation und Netzgenerierung mit Hilfe konformer Abbildungen - den Bogen zu Anwendungen.

Diese Einführung ist eine neue Lehrform und keine klassische Darstellung. Sie schlägt eine Brücke zur Computeranwendung und zu Maple. Dies beeinflusst die Struktur der einzelnen Kapitel. In einem Textteil wird die zugrundeliegende Theorie dargestellt und mit ausgewählten Beispielen illustriert. Hieran schließt sich der "Worksheet"-Teil an, in dem der vorangehende Stoff mit Hilfe von Maple 7 diskutiert wird. So können auch anspruchsvollere Beispiele als üblich behandelt werden. Anhand ausgefeilter Worksheets mit "Maple vom Feinsten" wird gezeigt, wie man mit einem Computeralgebrasystem gestalten und Ideen umsetzen kann. Zahlreiche Beispiele spannen den Bogen zu Anwendungen.

Inhalt
1 Die komplexen Zahlen.- 1.1 Historisches.- 1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen.- 1.3 Elementare Operationen und Regeln.- 1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung.- 1.5 Wurzeln.- 1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion.- Maple Worksheets zu Kapitel 1.- 2 Topologische Grundlagen.- 2.1 Konvergenz von Folgen.- 2.2 Topologische Begriffe für Mengen und Punkte.- 2.3 Stetigkeit und Grenzwert.- 2.4 Reihen und Potenzreihen.- Maple Worksheets zu Kapitel 2.- 3 Komplexe Differenzierbarkeit.- 3.1 Definition und Grundregeln.- 3.2 Differentiation von Potenzreihen.- 3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit.- 3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus.- Maple Worksheets zu Kapitel 3.- 4 Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz.- 4.1 Kurven.- 4.2 Kurvenintegrale.- 4.3 Hauptsatz.- Maple Worksheets zu Kapitel 4.- 5 Cauchysche Integralformel und Folgerungen.- 5.1 Integralformel.- 5.2 Potenzreihenentwicklung.- 5.3 Holomorphiekriterien.- 5.4 Integralformel für die Ableitungen.- Maple Worksheets zu Kapitel 5.- 6 Der globale Hauptsatz.- 6.1 Umlaufzahl, Zyklen.- 6.2 Der Hauptsatz für nullhomologe Zyklen.- Maple Worksheets zu Kapitel 6.- 7 Laurent-Reihen, isolierte Singularitäten, Residuensatz.- 7.1 Laurent-Reihen.- 7.2 Isolierte Singularitäten.- 7.3 Residuensatz.- 7.4 Argumentprinzip und Anwendungen.- Maple Worksheets zu Kapitel 7.- 8 Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen.- 8.1 Möbius-Transformationen.- 8.2 Joukowski-Transformation.- 8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem.- Maple Worksheets zu Kapitel 8.- 9 Die ?-Funktion.- 9.1 Zur ?-Funktion im Reellen.- 9.2 Die Gammafunktion im Komplexen.- 9.3 Stirling-Formel.- Maple Worksheets zu Kapitel 9.- 10 Anhang zu Maple.- 10.1 Ein erster Einstieg in Maple.- 10.2 Der Befehlinterface.- 10.3 Die Initialisierungsdatei.- 10.4 Der Befehl transform.- 10.5 Eigene Pakete definieren.- Symbolverzeichnis.- Namen- und Sachverzeichnis.- Index zu Maple.