Ausgewählte Fraktale und deren mathematische Beschreibung

Studienarbeit aus dem Jahr 2015 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,0, Friedrich-Schiller-Universität Jena (Fakultät für Mathematik und Informatik), Veranstaltung: Fraktale Geometrie, Sprache: Deutsch, Abstract: Der Begriff "Fraktal" wurde 1975 vom französisch-US-amerikanischen Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924-2010) geprägt und bezeichnet bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster. Eine allgemeingültige umfassende mathematische Definition von "Fraktal" existiert jedoch aufgrund der vielfältigen und unterschiedlichen Eigenschaften "fraktaler Strukturen" bislang nicht; selbst für Fraktale typische Eigenschaften wie "Selbstähnlichkeit" und (gebrochene) "fraktale Dimension" lassen sich mathematisch schwer einheitlich behandeln.

Inhalt

1 Einführung 2 Wichtige Begriffe und Bezeichnungen 2.1 Selbstähnlichkeit 2.2 Fraktale Dimension 2.2.1 Die Hausdorff-Dimension 2.2.2 Die Boxcounting-Dimension 2.2.3 Die Ähnlichkeitsdimension 3 Cantor-Mengen 3.1 Die Mittel-Drittel-Cantor-Menge 3.1.1 Konstruktion und Definition 3.1.2 Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 3.1.3 Ausblick auf höherdimensionale Verallgemeinerungen 3.2 Die generalisierte Cantor-Menge 3.2.1 Konstruktion und Definition 3.2.2 Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 3.3 Die Smith-Volterra-Cantor-Menge 3.3.1 Konstruktion und Definition 3.3.2 Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4 Koch-Kurven 4.1 Die klassische Koch-Kurve 4.1.1 Konstruktion und Definition 4.1.2 Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4.1.3 Fraktalantennen als technische Anwendung 4.2 Die kochsche Schneeflocke 4.2.1 Konstruktion und Definition 4.2.2 Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4.2.3 Ein Paradoxon mit "unendlich umfangreichen" Flächen 5 Sierpinski-Dreiecke 5.1 Das Sierpinski-"Linien-Dreieck" 5.1.1 Konstruktion und Definition 5.1.2 Fraktale Dimension 5.2 Das Sierpinski-"Flächen-Dreieck" 5.2.1 Konstruktion und Definition 5.2.2 Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 5.2.3 Variationen und höherdimensionale Verallgemeinerungen 5.2.4 Zusammenhang mit dem pascalschen Dreieck 5.3 (Sierpinski-)Dreiecke durch Zellautomaten 5.3.1 Überblick über Wolframs eindimensionales Universum 5.3.2 Sierpinski-Dreiecke in Wolframs eindimensionalen Universum 5.3.3 Schneckenhäuser und Wolframs eindimensionales Universum 5.4 Deterministisches Chaos und das Chaos-Spiel 5.4.1 Deterministisches Chaos 5.4.2 Das Chaos-Spiel 6 Literatur und Quellen