Numerische Näherungsverfahren für elliptische Randwertprobleme

In diesem Lehrbuch wird für die näherungsweise Lösung von elliptischen Randwertproblemen zweiter Ordnung eine einheitliche Theorie der Finiten Element Methode und der Randelementmethode präsentiert. Neben der Lösbarkeits-, Stabilitäts- und Fehleranalysis wird auch auf effiziente Verfahren zur Lösung der resultierenden
linearen Gleichungssysteme eingegangen. Anwendungen sind die Potentialgleichung, das System der linearen Elastostatik und das Stokes-System.

Von den theoretischen Grundlagen bis zur Praxis: Randwertprobleme effizient lösen

Autorentext

Priv.-Doz. Dr. Olaf Steinbach, Universität Stuttgart

Klappentext

Für die näherungsweise Lösung von Randwertproblemen zweiter Ordnung wird eine einheitliche Theorie der Finiten Elemente Methode und der Randelementmethode präsentiert. Neben der Stabilitäts- und Fehleranalysis wird vor allem auf effiziente Lösungsverfahren eingegangen. Für die Diskretisierung der auftretenden
Randintegraloperatoren werden schnelle Randelementmethoden (Wavelets, Multipol, algebraische Techniken) mit der Darstellung durch partielle Integration verknüpft. Durch die Kopplung von FEM und BEM mittels Gebietszerlegungsmethoden können gekoppelte Randwertprobleme in komplexen Strukturen behandelt werden. Numerische Beispiele illustrieren die theoretischen Aussagen.

Inhalt
1 Randwertprobleme.- 1.1 Potentialgleichung.- 1.2 Lineare Elastostatik.- 1.3 StokesSystem.- 2 Funktionenräume.- 2.1 Die Räume Ck (?), Ck,?(?) und Lp(?).- 2.2 Verallgemeinerte Ableitungen und SobolevRäume.- 2.3 Eigenschaften von SobolevRäumen.- 2.4 Distributionen und SobolevRäume.- 2.5 SobolevRäume auf Mannigfaltigkeiten.- 3 Variationsmethoden.- 3.1 Operatorgleichungen.- 3.2 Elliptische Operatoren.- 3.3 Operatoren und Stabilitätsbedingungen.- 3.4 Gleichungen mit Nebenbedingungen.- 3.5 Sattelpunktprobleme.- 4 Variationsformulierungen von Randwertproblemen.- 4.1 Potentialgleichung.- 4.2 Lineare Elastostatik.- 4.3 StokesProblem.- 5 Fundamentallösungen partieller Differentialoperatoren.- 5.1 LaplaceOperator.- 5.2 Lineare Elastostatik.- 5.3 StokesProblem.- 6 Randintegraloperatoren.- 6.1 NewtonPotential.- 6.2 Einfachschichtpotential.- 6.3 Adjungiertes Doppelschichtpotential.- 6.4 Doppelschichtpotential.- 6.5 Hypersingulärer Integraloperator.- 6.6 Eigenschaften der Randintegraloperatoren.- 6.7 Lineare Elastostatik.- 6.8 StokesSystem.- 7 Randintegralgleichungen.- 7.1 DirichletRandwertproblem.- 7.2 NeumannRandwertproblem.- 7.3 Gemischte Randbedingungen.- 7.4 RobinRandbedingungen.- 7.5 Randwertprobleme im Außenraum.- 8 Näherungsmethoden für Variationsprobleme.- 8.1 Galerkin-BubnovVerfahren.- 8.2 Approximation der Linearform.- 8.3 Approximation des Operators.- 8.4 GalerkinPetrovVerfahren.- 8.5 Sattelpunktprobleme.- 9 Finite Elemente.- 9.1 Referenzelemente.- 9.2 Formfunktionen.- 9.3 Ansatzräume.- 9.4 QuasiInterpolationsoperatoren.- 10 Randelemente.- 10.1 Referenzelemente.- 10.2 Ansatzräume.- 11 Finite Element Methoden.- 11.1 DirichletRandwertproblem.- 11.2 NeumannRandwertproblem.- 11.3 FEM mitLagrangeMultiplikatoren.- 12 Randelementmethoden.- 12.1 DirichletRandwertproblem.- 12.2 NeumannRandwertproblem.- 12.3 Gemischte Randbedingungen.- 12.4 RobinRandbedingungen.- 13 Vorkonditionierte Iterationsverfahren.- 13.1 Das Verfahren konjugierter Gradienten.- 13.2 Eine allgemeine Vorkonditionierungsstrategie.- 13.3 Lösungsverfahren für Sattelpunktprobleme.- 14 Schnelle Randelementmethoden.- 14.1 Hierarchische ClusterMethoden.- 14.2 Approximation der Steifigkeitsmatrix.- 14.3 Wavelets.- 15 Gebietszerlegungsmethoden.- Literatur.