Differentialgleichungen und ihre Anwendungen

Dieses richtungsweisende Lehrbuch für die Anwendung der Mathematik in anderen Wissenschaftszweigen gibt eine Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Fortran und APL-Programme geben den Studenten die Möglichkeit, verschiedene numerische Näherungsverfahren an ihrem PC selbst durchzurechnen. Aus den Besprechungen: "Die Darstellung ist überall mathematisch streng und zudem ungemein anregend. Abgesehen von manchen historischen Bemerkungen ... tragen dazu die vielen mit ausführlichem Hintergrund sehr eingehend entwickelten praktischen Anwendungen bei. ... Besondere Aufmerksamkeit wird der physikalisch und technisch so wichtigen Frage nach Stabilität von Lösungen eines Systems von Differentialgleichungen gewidmet. Das Buch ist wegen seiner geringen Voraussetzungen und vorzüglichen Didaktik schon für alle Studenten des 3. Semesters geeignet; seine eminent praktische Haltung empfiehlt es aber auch für alle Physiker, die mit Differentialgleichungen und ihren Anwendungen umzugehen haben." # Physikalische Blätter #

Inhalt

1. Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1.1 Einführung.- 1.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1.3 Die Kunstfälschungen des Van Meegeren.- 1.4 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen.- 1.5 Populationsmodelle.- 1.6 Die Ausbreitung technologischer Innovationen.- 1.7 Ein Problem der Atommüllbeseitigung.- 1.8 Die Dynamik des Tumorwachstums; Mischungsprobleme und orthogonale Trajektorien.- 1.9 Exakte Differentialgleichungen; der Grund der Unlösbarkeit vieler Gleichungen.- 1.10 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz; Picard-Iteration.- 1.11 Iterationsverfahren.- 1.12 Differenzengleichungen; Kredit und Zins.- 1.13 Numerische Approximationen; die Eulersche Methode.- 1.14 Die drei-Term-Taylorreihen-Methode.- 1.15 Eine verbesserte Euler-Methode.- 1.16 Das Verfahren von Runge-Kutta.- 1.17 Einige Bemerkungen über die praktische Berechnung von Näherungslösungen.- 2. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2.1 Algebraische Eigenschaften von Lösungen.- 2.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 2.3 Die inhomogene Gleichung.- 2.4 Variation der Konstanten.- 2.5 Die Methode des gezielten Abschätzens.- 2.6 Mechanische Schwingungen.- 2.7 Ein Modell zur Erkennung von Diabetes.- 2.8 Reihenlösungen.- 2.9 Die Laplacetransformation.- 2.10 Einige nützliche Eigenschaften der Laplacetransformation.- 2.11 Differentialgleichungen mit Unstetigkeitsstellen auf der rechten Seite.- 2.12 Die Diracsche Deltafunktion.- 2.13 Das Faltungsintegral.- 2.14 Die Eliminationsmethode für Systeme.- 2.15 Einige Bemerkungen über Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 3. Systeme von Differentialgleichungen.- 3.1 Algebraische Eigenschaften von Lösungen linearer Systeme.- 3.2 Vektorräume.- 3.3 Dimension eines Vektorraums.- 3.4 Anwendungder linearen Algebra auf Differentialgleichungen.- 3.5 Determinantentheorie.- 3.6 Lösungen von linearen Gleichungssystemen.- 3.7 Lineare Abbildungen.- 3.8 Bestimmung von Lösungen mit Hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 3.9 Komplexe Wurzeln.- 3.10 Mehrfache Wurzeln.- 3.11 Fundamentale Matrixlösungen; eAt.- 3.12 Die inhomogene Gleichung; Variation der Konstanten.- 3.13 Lösung von Differentialgleichungssystemen mittels Laplacetransformation.- 4. Qualitative Theorie der Differentialgleichungen.- 4.1 Einführung.- 4.2 Stabilität von linearen Systemen.- 4.3 Stabilität von Gleichgewichtslösungen.- 4.4 Die Phasenebene.- 4.5 Mathematische Kriegstheorien.- 4.6 Qualitative Eigenschaften von Bahnen.- 4.7 Phasenportraits linearer Systeme.- 4.8 Langzeitverhalten von Lösungen; der Satz von Poincaré-Bendixson.- 4.9 Räuber-Opfer-Probleme; warum es während des ersten Weltkriegs prozentual zu einem dramatischen Anstieg des Haifischfangs im Mittelmeer kam.- 4.10 Das Prinzip der Auslese durch Wettbewerb in der Populationsbiologie.- 4.11 Der Schwellensatz der Epidemiologie.- 4.12 Ein Modell für die Ausbreitung der Gonorrhoe.- 5. Separation der Variablen und Fourierreihen.- 5.1 Zwei-Punkt-Randwertprobleme.- 5.2 Einführung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungen.- 5.3 Die Wärmegleichung; Separation der Variablen.- 5.4 Fourierreihen.- 5.5 Gerade und ungerade Funktionen.- 5.6 Die Wärmegleichung (Fortsetzung).- 5.7 Die Wellengleichung.- 5.8 Die Laplacesche Gleichung.- Anhang A Einfache Definitionen und Sätze aus der Theorie der Funktionen mehrerer Veränderlicher.- Anhang B Folgen und Reihen.- Anhang C Einführung in APL.- Lösungen zu ungeradzahligen Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.