Implementierung numerischer verifizierender Verfahren mit graphischer Benutzerschnittstelle unter Oberon-XSC

Inhaltsangabe:Zusammenfassung: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit zwei thematischen Schwerpunkten. Der eine Schwerpunkt sind numerische, verifizierende Verfahren. Darunter werden Algorithmen und Methoden verstanden, die mathematische Aufgaben mittels Computer numerisch (also nicht symbolisch) lösen und hierbei Lösungseinschließungen liefern im Gegensatz zu den herkömmlichen computerbasierten Verfahren, die gerundete Ergebnisse liefern, die weit von der echten Lösung entfernt liegen. Den zweite Schwerpunkt bilden die graphischen Benutzerschnittstellen, die es ermöglichen mathematische Probleme zu visualisieren. Als Basis der Implementierungen im Rahmen dieser Arbeit wurde das Oberon-XSC System verwendet, da es beide Aspekte sehr gut miteinander vereint. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die mathematischen Grundlagen der Rechnerarithmetik und Intervallrechnung und einer Einführung in Oberon. Daran anschließend werden zwei Beispiele für Visualisierungsprobleme geben. Zum einen ein Programm zur Darstellung eindimensionaler reeller Funktionen sowie gleichzeitig deren Ableitungen bzw. Taylorkurven. Dies werden dabei automatisch über verifizierende Verfahren aus dem Funktionsausdruck berechnet. Zum anderen wird eine Fadenpendel-Simulation vorgestellt, für deren Simluation ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung durch ein Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4 gelöst werden muss. Im dritten Kapitel werden verschiedene numerische Verfahren detailliert vorgestellt und implementiert. Im speziellen sind das die Methoden der automatischen Differentiation und darauf aufbauen Algorithmen zur globalen Optimierung eindimensionaler reeller Funktionen. Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis: 1.Grundlagen1 1.1Kurze Einführung in die Rechnerarithmetik1 1.1.1Die Räume der Rechnerarithmetik1 1.1.2Definition der Rechnerarithmetik3 1.2Einführung in die Intervallrechnung5 1.2.1Definition und Eigenschaften der Intervallarithmetik6 1.2.2Maschinenintervalle8 1.2.3Erweiterte Intervallarithmetik9 1.3Einführung in Oberon11 1.3.1Die Programmiersprache Oberon11 1.3.2Das Oberon-System15 1.3.3Programmierung von Objekten und Gadgets18 2.Visualisierung21 2.1Der Function Viewer21 2.1.1Gundlegende Module22 2.1.2Module zur Eingabe eindimensionaler Funktionen25 2.1.3Module zur direkten Implementierung des FunctionViewer31 2.2Eine Pendelsimulation42 2.2.1Iteratoren43 2.2.2Listenverwaltung49 2.2.3Die [...]

Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Zusammenfassung:Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit zwei thematischen Schwerpunkten. Der eine Schwerpunkt sind numerische, verifizierende Verfahren. Darunter werden Algorithmen und Methoden verstanden, die mathematische Aufgaben mittels Computer numerisch (also nicht symbolisch) lösen und hierbei Lösungseinschließungen liefern im Gegensatz zu den herkömmlichen computerbasierten Verfahren, die gerundete Ergebnisse liefern, die weit von der echten Lösung entfernt liegen. Den zweite Schwerpunkt bilden die graphischen Benutzerschnittstellen, die es ermöglichen mathematische Probleme zu visualisieren. Als Basis der Implementierungen im Rahmen dieser Arbeit wurde das Oberon-XSC System verwendet, da es beide Aspekte sehr gut miteinander vereint.Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die mathematischen Grundlagen der Rechnerarithmetik und Intervallrechnung und einer Einführung in Oberon. Daran anschließend werden zwei Beispiele für Visualisierungsprobleme geben. Zum einen ein Programm zur Darstellung eindimensionaler reeller Funktionen sowie gleichzeitig deren Ableitungen bzw. Taylorkurven. Dies werden dabei automatisch über verifizierende Verfahren aus dem Funktionsausdruck berechnet. Zum anderen wird eine Fadenpendel-Simulation vorgestellt, für deren Simluation ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung durch ein Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4 gelöst werden muss. Im dritten Kapitel werden verschiedene numerische Verfahren detailliert vorgestellt und implementiert. Im speziellen sind das die Methoden der automatischen Differentiation und darauf aufbauen Algorithmen zur globalen Optimierung eindimensionaler reeller Funktionen.Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:1.Grundlagen11.1Kurze Einführung in die Rechnerarithmetik11.1.1Die Räume der Rechnerarithmetik11.1.2Definition der Rechnerarithmetik31.2Einführung in die Intervallrechnung51.2.1Definition und Eigenschaften der Intervallarithmetik61.2.2Maschinenintervalle81.2.3Erweiterte Intervallarithmetik91.3Einführung in Oberon111.3.1Die Programmiersprache Oberon111.3.2Das Oberon-System151.3.3Programmierung von Objekten und Gadgets182.Visualisierung212.1Der Function Viewer212.1.1Gundlegende Module222.1.2Module zur Eingabe eindimensionaler Funktionen252.1.3Module zur direkten Implementierung des FunctionViewer312.2Eine Pendelsimulation422.2.1Iteratoren432.2.2Listenverwaltung492.2.3Die []