Analysis 1

Dieses nunmehr in 4. Auflage erscheinende Lehrbuch präsentiert in bereits bewährter Weise den Kanon der Analysis einer Veränderlichen. Auf vielfachen Wunsch hin wurden für die neue Auflage zu rund 250 Übungsaufgaben auch Lösungen ausgearbeitet und in einem Anhang beigefügt. Durch die Verbindung von Lehrtext, zahlreichen Beispielen und umfangreichem Übungsmaterial eignet sich diese Darstellung vorzüglich als begleitende Literatur zu einer Vorlesung, zum Selbststudium, sowie zur Prüfungsvorbereitung für Studenten der Mathematik, Physik, Informatik und der Wirtschaftswissenschaften. Die zahlreichen historischen Anmerkungen und die eingestreuten Perlen der klassischen Analysis geben diesem Lehrbuch seinen besonderen Reiz.

Eine kurz und prägnant geschriebene Einführung in die Analysis, die sich in wenigen Jahren bereits am Markt durchgesetzt hat Jetzt mit Lösungshinweisen zu den Übungsaufgaben! Includes supplementary material: sn.pub/extras

Inhalt
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 1.1 Vollständige Induktion.- 1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten.- 1.3 Aufgaben.- 2 Reelle Zahlen.- 2.1 Die Körperstruktur von $$\mathbb{R}$$.- 2.2 Die Anordnung von $$\mathbb{R}$$.- 2.3 Die Vollständigkeit von $$\mathbb{R}$$.- 2.4 $$\mathbb{R}$$ ist nicht abzählbar.- 2.5 Aufgaben.- 3 Komplexe Zahlen.- 3.1 Der Körper der komplexen Zahlen.- 3.2 Die komplexe Zahlenebene.- 3.3 Algebraische Gleichungen in $$\mathbb{C}$$.- 3.4 Die Unmöglichkeit einer Anordnung von $$\mathbb{C}$$.- 3.5 Aufgaben.- 4 Funktionen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Polynome.- 4.3 Rationale Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5 Folgen.- 5.1 Konvergenz von Folgen.- 5.2 Rechenregeln.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln.- 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß.- 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von $$\mathbb{R}$$.- 5.7 Uneigentliche Konvergenz.- 5.8 Aufgaben.- 6 Reihen.- 6.1 Konvergenz von Reihen.- 6.2 Konvergenzkriterien.- 6.3 Summierbare Familien.- 6.4 Potenzreihen.- 6.5 Aufgaben.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 7.1 Stetigkeit.- 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen.- 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen.- 7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz.- 7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz vom Maximum und Minimum.- 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen.- 7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte.- 7.9 Aufgaben.- 8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen.- 8.1 Definition der Exponentialfunktion.- 8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente.- 8.3 Der natürliche Logarithmus.- 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen.- 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe.- 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 8.7 Nullstellen und Periodizität.- 8.8 Die Arcus-Funktionen.- 8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen.- 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens.- 8.11 Die Zahl ?.- 8.12 Die hyperbolischen Funktionen.- 8.13 Aufgaben.- 9 Differentialrechnung.- 9.1 Die Ableitung einer Funktion.- 9.2 Ableitungsregeln.- 9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz.- 9.4 Beispiele und Anwendungen.- 9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen.- 9.6 Ableitungen höherer Ordnung.- 9.7 Konvexität.- 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen.- 9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz.- 9.10 Der Begriff der Stammfunktion.- 9.11 Eine auf ganz $$\mathbb{R}$$ stetige, nirgends differenzierbare Funktion.- 9.12 Aufgaben.- 10 Lineare Differentialgleichungen.- 10.1 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschätzung.- 10.2 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung.- 10.3 Partikuläre Lösungen bei speziellen Inhomogenitäten.- 10.4 Anwendung auf Schwingungsprobleme.- 10.5 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten.- 10.6 Erweiterung des Lösungsbegriffes.- 10.7 Aufgaben.- 11 Integralrechnung.- 11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration.- 11.2 Regelfunktionen.- 11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle.- 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen.- 11.5 Erste Anwendungen.- 11.6 Integration elementarer Funktionen.- 11.7 Integration normal konvergenter Reihen.- 11.8 Riemannsche Summen.- 11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle.- 11.10 Die Eulersche Summationsformel.- 11.11 Aufgaben.- 12 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 12.1 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe.- 12.2 Die Bogenlänge.- 12.3 Parameterwechsel.- 12.4 Krümmung ebener Kurven.- 12.5 Die Sektorfläche ebener Kurven.- 12.6 Kurven in Polarkoordinaten.- 12.7 Liftung und Windungzahlen.- 12.8 Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 12.9 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze.- 12.10 Aufgaben.- 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen.- 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen.- 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung $$ \ddot{x} = f\left( x \right) $$? = f(x).- 13.4 Aufgaben.- 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 14.1 Approximation durch Taylorpolynome.- 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen.- 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe. Bernoulli-Polynome.- 14.4 Das Newton-Verfahren.- 14.5 Aufgaben.- 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz.- 15.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 15.2 Vertauschungssätze.- 15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz.- 15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ? (2n).- 15.5 Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen.- 15.6 Lokal gleichmäßige Konvergenz. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel.- 15.7 Aufgaben.- 16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 16.1 Der Approximationssatz von Fejér.- 16.2 Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und Anwendungen.- 16.3 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet.- 16.4 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen.- 16.5 Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen.- 16.6 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung.- 16.7 Anwendung: das isoperimetrische Problem.- 16.8 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion.- 16.9 Aufgaben.- 17 Die Gammafunktion.- 17.1 Die Gammafunktion nach Gauß.- 17.2 Charakterisierung der ?-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung.- 17.3 Die Stirlingsche Formel.- 17.4 Aufgaben.- Biographische Notiz zu Euler.- Losungen zu den Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.