Analysis 1

In kurzer und prägnanter Form wird die Analysis der Grundvorlesung vorgestellt. Im Gegensatz zu den Analysisbänden von Blatter und Forster finden sich hier viele historische Anmerkungen. Außerdem wird viel Wert auf sachbezogene Motivation gelegt. Zusammen mit dem zum Wintersemester erscheinenden Band Analysis 2 eignet sich dieses Werk hervorragend zur Prüfungsvorbereitung nicht nur für Mathematikstudenten, sondern gerade auch für Informatik-, Physik- und Technikstudenten.

Inhalt
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1.- 1.1 Vollständige Induktio.- 1.2 Fakultät und Binomialkoeffiziente.- 1.3 Aufgabe.- 2 Reelle Zahlen.- 2.1 Die Körperstruktur von.- 2.2 Die Anordnung von.- 2.3 Die Vollständigkeit von R.- 2.4 R ist nicht abzählbar.- 2.5 Aufgaben.- 3 Komplexe Zahlen.- 3.1 Der Körper der komplexen Zahlen.- 3.2 Die komplexe Zahlenebene.- 3.3 Algebraische Gleichungen in C.- 3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von C.- 3.5 Aufgaben.- 4 Funktionen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Polynome.- 4.3 Rationale Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5 Folgen.- 5.1 Konvergenz von Folgen.- 5.2 Rechenregeln.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln.- 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß.- 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von R.- 5.7 Die erweiterte Zahlengerade. Bestimmte Divergenz.- 5.8 Aufgaben.- 6 Reihen.- 6.1 Konvergenz von Reihen.- 6.2 Konvergenzkriterien.- 6.3 Der große Umordnungssatz. Rechnen mit Reihen.- 6.4 Potenzreihen.- 6.5 Aufgaben.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 7.1 Stetigkeit.- 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen.- 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen.- 7.4 Der Zwischenwertsatz.- 7.5 Kompakte Mengen. Satz vom Maximum und Minimum.- 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 7.7 Gleichmäßige Stetigkeit.- 7.8 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen.- 7.9 Einseitige Grenzwerte. Grenzwerte bei Unendlich. Uneigentliche Grenzwerte.- 7.10 Aufgaben.- 8 Die Exponentialfunktion.- 8.1 Definition der Exponentialfunktion.- 8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente.- 8.3 Der natürliche Logarithmus.- 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen.- 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe.- 8.6 Anwendung: das Wachstum von n!.- 8.7 Hyperbolische Funktionen.- 8.8 Aufgaben.- 9 Differentialrechnung.- 9.1 Die Ableitung einer Funktion.- 9.2 Ableitungsregeln.- 9.3 Höhere Ableitungen.- 9.4 Mittelwertsatz und Schrankensatz.- 9.5 Beispiele und Anwendungen.- 9.6 Reihen differenzierbarer Funktionen.- 9.7 Konvexität.- 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen.- 9.9 Verallgemeinerung des Schrankensatzes.- 9.10 Eine auf ganz R stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion.- 9.11 Aufgaben.- 10 Die Schwingungsgleichung. Trigonometrische Funktionen.- 10.1 Die Schwingungsgleichung.- 10.2 Trigonometrische Funktionen.- 10.3 Die Umkehrfunktionen.- 10.4 Die Zahl ?.- 10.5 Polarkoordinaten.- 10.6 Aufgaben.- 11 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 11.1 Einführende Feststellungen.- 11.2 Der Eindeutigkeitssatz.- 11.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung.- 11.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten.- 11.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme.- 11.6 Stammfunktionen. Berechnung partikulärer Lösungen durch Variation der Konstanten.- 11.7 Aufgaben.- 12 Integralrechnung.- 12.1 Treppenfunktionen und ihre Integration.- 12.2 Regelfunktionen und ihre Integrationüber kompakte Intervalle.- 12.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 12.4 Erste Anwendungen.- 12.5 Integration elementarer Funktionen.- 12.6 Integration normal konvergenter Reihen.- 12.7 Riemannsche Summen.- 12.8 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale.- 12.9 Die Eulersche Summenformel. Die Trapezregel.- 12.10 Aufgaben.- 13 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 13.1 Parametrisierte Kurven.- 13.2 Die Bogenlänge.- 13.3 Parameterwechsel.- 13.4 Krümmung ebener Kurven.- 13.5 Die Sektorfläche.- 13.6 Windungszahlen.- 13.7 Kurven in Polarkoordinaten.- 13.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze.- 13.9 Aufgaben.- 14 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 14.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen.- 14.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen.- 14.3 Die Differentialgleichung ? = f(x).- 14.4 Aufgaben.- 15 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 15.1 Approximation durch Taylorpolynome.- 15.2 Taylorreihen.- 15.3 Bernoulli-Zahlen. Die Cotangensreihe. Bernoulli-Polynome.- 15.4 Das Newton-Verfahren zur Nullstellenberechnung.- 15.5 Aufgaben.- 16 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz.- 16.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 16.2 Eigenschaften der Grenzfunktion.- 16.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz.- 16.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n).- 16.5 Lokal-gleichmäßige Konvergenz.- 16.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz.- 16.7 Aufgaben.- 17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen.- 17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz.- 17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens.- 17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet.- 17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen.- 17.6 Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen.- 17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung.- 17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem.- 17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion.- 17.10 Aufgaben.- 18 Die Gammafunktion.- 18.1 Die Gammafunktion nach Gauß.- 18.2 Charakterisierung der ?-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung.- 18.3 Die Stirlingsche Formel.- 18.4 Aufgaben.- Biographische Notiz zu Euler.- Literaturhinweise.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.