Bewertung von Barriere-Optionen unter Verwendung der Laplace-Transformation

Inhaltsangabe:Einleitung:
Neben den Europäischen Standard-Optionen sind die Barriere-Optionen ein beliebtes Finanzinstrument, insbesondere wegen ihres geringeren Preises gegenüber einer Standard-Option. Während sich der Preis einer Europäische Standard-Option relativ einfach mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnen lässt, sind bei der Bewertung von Barriere-Optionen andere Hilfsmittel notwendig.
Barriere-Call-Optionen lassen sich auf den Spezialfall des Doppelbarriere-Knock-out-Calls zurückführen. Diese Arbeit leitet eine geschlossene Formel für die Laplace-Transformierte des Preises eines Doppelbarriere-Knock-out-Calls her. Mit Hilfe der numerischen Invertierung der Laplace-Transformation gelangt man dann zum Wert dieser Option.
Diese Methode der Bewertung unter Verwendung der Laplace-Transformation wird mit den Bewertungsmethoden von Kunitomo-Ikeda, mit der Bewertung durch eine Fourier-Reihe und der Bewertung durch Monte-Carlo-Simulation verglichen.
Die in der Studie erwähnte Excel-Applikation ist nicht im Lieferumfang enthalten, da sie für das Verständnis der Studie nicht notwendig ist.

Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einleitung6
2.Stochastische Basisprozesse14
3.Ein stochastisches Finanzmarktmodell26
3.1Modellbeschreibung26
3.2Bewertung eines zukünftigen Zahlungsanspruchs33
3.3Das spezielle Finanzmarktmodell M0(P,Q)39
4.Zeittransformationen41
4.1Zeittransformationen und Laplace-Transformationen41
4.2Einige Laplace-Transformationen von Verteilungen47
5.Der Preis des Doppelbarriere-A-Calls53
5.1Die Europäische Call-Option und die Black-Scholes-Formel53
5.2Der Doppelbarriere-A-Call und ein Zusammenhang mit dem Europäischen Standard-Call55
5.3Eine explizite Formel für64
5.4Numerische Berechnung73
6.Weitere Bewertungsmethoden77
6.1Die Formel von Kunitomo und Ikeda77
6.2Bewertung mithilfe einer Fourier-Reihe79
6.3Die Monte-Carlo-Simulation80
6.4Vergleich der Methoden81
7.Zusammenfassung und Ausblick84
A.Markov-Prozesse88
B.Weitere Eigenschaften des Wiener-Prozesses91
C.Die Black-Scholes-Formel98
D.Invertierung der Laplace-Transformation100
E.Preise verschiedener Doppelbarriere-A-Calls105
Literatur109
Anlagen: Applikation zur Bewertung116

Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einleitung:Neben den Europäischen Standard-Optionen sind die Barriere-Optionen ein beliebtes Finanzinstrument, insbesondere wegen ihres geringeren Preises gegenüber einer Standard-Option. Während sich der Preis einer Europäische Standard-Option relativ einfach mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnen lässt, sind bei der Bewertung von Barriere-Optionen andere Hilfsmittel notwendig.Barriere-Call-Optionen lassen sich auf den Spezialfall des Doppelbarriere-Knock-out-Calls zurückführen. Diese Arbeit leitet eine geschlossene Formel für die Laplace-Transformierte des Preises eines Doppelbarriere-Knock-out-Calls her. Mit Hilfe der numerischen Invertierung der Laplace-Transformation gelangt man dann zum Wert dieser Option.Diese Methode der Bewertung unter Verwendung der Laplace-Transformation wird mit den Bewertungsmethoden von Kunitomo-Ikeda, mit der Bewertung durch eine Fourier-Reihe und der Bewertung durch Monte-Carlo-Simulation verglichen.Die in der Studie erwähnte Excel-Applikation ist nicht im Lieferumfang enthalten, da sie für das Verständnis der Studie nicht notwendig ist.Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:1.Einleitung62.Stochastische Basisprozesse143.Ein stochastisches Finanzmarktmodell263.1Modellbeschreibung263.2Bewertung eines zukünftigen Zahlungsanspruchs333.3Das spezielle Finanzmarktmodell M0(P,Q)394.Zeittransformationen414.1Zeittransformationen und Laplace-Transformationen414.2Einige Laplace-Transformationen von Verteilungen475.Der Preis des Doppelbarriere-A-Calls535.1Die Europäische Call-Option und die Black-Scholes-Formel535.2Der Doppelbarriere-A-Call und ein Zusammenhang mit dem Europäischen Standard-Call555.3Eine explizite Formel für645.4Numerische Berechnung736.Weitere Bewertungsmethoden776.1Die Formel von Kunitomo und Ikeda776.2Bewertung mithilfe einer Fourier-Reihe796.3Die Monte-Carlo-Simulation806.4Vergleich der Methoden817.Zusammenfassung und Ausblick84A.Markov-Prozesse88B.Weitere Eigenschaften des Wiener-Prozesses91C.Die Black-Scholes-Formel98D.Invertierung der Laplace-Transformation100E.Preise verschiedener Doppelbarriere-A-Calls105Literatur109Anlagen: Applikation zur Bewertung116