Elementargeometrie

für Julius Die Geometrie ist ein umfangreicher Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Schule. Die Inhalte beziehen sich hauptsächlich auf die Eigenschaften elementar geometrischer Figuren der Ebene (Gerade, Dreieck, Kreis), Transformationen der Ebene und auf Flächen und Körper im Raum. In der Sekundarstufe II kommen die analytische Geometrie, die Trigonometrie, spezielle Kurven und die Kegelschnit te hinzu. Als Erweiterungskurse sind Elemente der nichteuklidischen Geometrie möglich. Insgesamt ist dies ein breites Spektrum geometrischer Themen, das der Mathematiklehrer seinen Schülern vermitteln soll I. Während des Studiums für Lehramtskandidaten an der Universität sind es in der Grundausbildung zunächst die Vorlesungen zur linearen Algebra und analytischen Geometrie im ersten Stu rlif'njahr sowie die Vorlesung zur Elementargeometrie im zweiten Studienjahr, wel che dem angehenden Lehrer in mathematisch systematischer Form die Inhalte der genannten geometrischen Themen nahe bringen sollten. Betrachtet man jedoch den universitären Unterricht über einen längeren Zeitraum, so ist unschwer zu erkennen, dass in der Vorlesung zur linearen Algebra schrittweise die geometri schen Themen immer mehr reduziert worden sind, manchmal nahezu vollständig ausgeblendet werden. Insgesamt ergibt sich damit das Bild, dass die Vorlesung zur Elementargeometrie in der Grundausbildung der Lehramtskandidaten ein we sentlicher Bestandteil ihrer geometrischen Ausbildung mit damit klar festgelegtem Inhalt ist. Das vorliegende Buch entstand nach einer einsemestrigen Vorlesung für Lehramts kandidaten im zweiten Studienjahr über "Elementargeometrie" an der Humboldt Universität zu Berlin. Die Studenten hatten bereits die einjährigen Vorlesungen zur linearen Algebra und Analysis gehört, im ersten Kapitel stellen wir nochmals einige Aspekte dieser Vorlesungen summarisch zusammen.

In diesem neuen Geometrie Buch für das Lehramt Mathematik werden zunächst die elementargeometrischen Figuren der Ebene (Dreieck, Kreis, Kegelschnitte) samt ihrer markanten Eigenschaften behandelt. Die Beweise sind vollständig ausgeführt und wenden sich an Studierende mit Grundkenntnissen in Analysis und linearer Algebra. Danach werden die Flächen und Körper des Raumes und deren Volumen besprochen. Die Eulersche Polyeder-Formel führt zur Klassifikation der platonischen Körper. Ein Kapitel ist den Symmetrien der Ebene und des Raumes gewidmet. Ausführlich werden Projektionen, Spiegelungen, Streckungen und deren Kompositionen behandelt. Es folgt die Charakterisierung der verschiedenen Typen von Isometrien durch ihre Fixpunkte und die Klassifikation der diskreten Untergruppen der euklidischen Bewegungsgruppe. In analoger Weise und nach Darlegung der Grundlagen der Axiomatik der Elementargeometrie werden die hyperbolische und die elliptische (sphärische) Geometrie aufgebaut. Dieses Buch eignet sich ideal zur Vorlesungsbegleitung und Prüfungsvorbereitung für Lehramtsstudenten (S II) und als kompaktes Nachschlagewerk für Lehrer im Beruf.

Autorentext

Beide Autoren sind am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin tätig. Dr. habil. Ilka Agricola leitet eine von der VolkswagenStiftung finanzierte Nachwuchsgruppe an Universitäten, Prof. Dr. sc. Thomas Friedrich hat den Lehrstuhl für "Globale Analysis".
Ebenfalls im Vieweg Verlag erschien ihr Buch Globale Analysis, Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik.

Klappentext

Dieses Buch eignet sich ideal zur Vorlesungsbegleitung und Prüfungsvorbereitung für Lehramtsstudierende (S II) und als kompaktes Nachschlagewerk für Lehrer im Beruf. Es führt in alle unterrichtrelevanten Themen der Elementargeometrie ein.

Inhalt

1. Einleitung: Der euklidische Raum.- Aufgaben.- 2. Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften.- 2.1. Die Gerade.- 2.2. Das Dreieck.- 2.3. Der Kreis.- 2.4. Die Kegelschnitte.- 2.5. Flächen und Körper.- Aufgaben.- 3. Symmetrien der Ebene und des Raumes.- 3.1. Affine Abbildungen und Schwerpunkte.- 3.2. Projektionen und ihre Eigenschaften.- 3.3. Zentrische Streckungen und Translationen.- 3.4. Ebene Isometrien und Ahnlichkeitstransformationen.- 3.5. Komplexe Schreibweise der Transformationen in der Ebene.- 3.6. Elementare Transformationen des Raumes ?3.- 3.7. Diskrete Untergruppen der ebenen Transformationsgruppe.- 3.8. Endliche Untergruppen der räumlichen Transformationsgruppe.- Aufgaben.- 4. Hyperbolische Geometrie.- 4.1. Der axiomatische Aufbau der Elementargeometrie.- 4.2. Das Poincaré-Modell.- 4.3. Das Scheibenmodell.- 4.4. Ausgewählte Eigenschaften der hyperbolischen Ebene.- 4.5. Drei Typen von hyperbolischen Isometrien.- 4.6. Fuchssche Gruppen.- Aufgaben.- 5. Sphärische Geometrie.- 5.1. Der Raum S2.- 5.2. Großkreise in S2.- 5.3. Die Isometriegruppe von S2.- 5.4. Die Möbius-Gruppe von S2.- 5.5. Ausgewählte Eigenschaften der sphärischen Geometrie.- Aufgaben.- Literatur.- Symbolverzeichnis.- Namens- und Sachverzeichnis.- Anhang A. Rahmenplan Geometrie für Berliner Schulen.