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Dynamik meromorpher Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel

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  • 101 Seiten
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Beschreibung

Inhaltsangabe:Gang der Untersuchung: Diese Diplomarbeit vollzieht den für die Entwicklung der komplexen Dynamik so bedeutsamen Schritt der Anwendung des Konzeptes der normalen Familie nach. Während wir in Kapitel 1 funktionentheoretische Grundlagen und grundlegende Definitionen einführen und insbesondere zeigen, dass die rationalen Funktionen genau die auf C meromorphen Funktionen sind, wird im 2. Kapitel bereits der Begriff der normalen Familie meromorpher Funktionen eingeführt. In Abschnitt 2.2 beweisen wir den Satz von Arzelà und Ascoli (vergl. Satz 2.4), welcher normale Familien mit gleichgradig stetigen Familien in Zusammenhang bringt. In Abschnitt 2.3 wird der für die Arbeiten von Fatou und Julia sehr bedeutende Satz von Montel zitiert, mit dessen Hilfe besonders im 3. Kapitel viele Beweise geführt werden. Dieser Satz besagt anschaulich formuliert, dass, wenn jede Funktion einer Familie meromorpher (rationaler) Funktionen (mindestens) drei paarweise verschiedene Werte a, b, c 2 C nicht annimmt (diese müssen für jede Funktion dieselben drei paarweise verschiedenen Werte sein), diese Familie normal ist (vergl. Satz 2.5). Im 3. Kapitel werden die Julia - und Fatou - Menge über den Begriff der normalen Familie definiert und grundlegende Eigenschaften dieser Mengen bewiesen. In Abschnitt 3.2 werden die periodischen Orbits eingeführt und anhand ihrer Eigenwerte klassifiziert. Ein Ergebnis dieses Abschnittes ist, dass die (super)attraktiven periodischen Orbits in der Fatou - Menge und die repulsiven periodischen Orbits in der Julia - Menge liegen. In Abschnitt 3.3 wird die so genannte Ausnahmemenge eingeführt (vergl. Def. 3.19), anhand welcher deutlich wird, dass die für Julia - Mengen typische, bereits angedeutete lokale Abstoßung tatsächlich globaler Natur ist. Am Ende von Kapitel 3 beweisen wir den Satz, dass die Menge [ n2N0 {z 2 CIRn(z) = z0} (wobei z0 Element aus der Julia - Menge ist und R eine rationale Funktion vom Grad größer gleich 2) dicht in der Julia - Menge liegt. Aus diesem Satz werden wir im 4. Kapitel einen Algorithmus zum Zeichnen von Julia - Mengen mit einem Computer entwickeln und Julia - Mengen anhand ausgewählter Beispiele betrachten. Im 4. Kapitel wird insbesondere noch einmal das Newtonverfahren an einem Beispiel genauer betrachtet. Im 5. Kapitel werden wir dann die in Kapitel 3 über den Begriff der normalen Familie funktionentheoretisch definierten Julia - Mengen dynamisch charakterisieren, nämlich als den Abschluss [...]

Klappentext

Fatou und Julia veröffentlichten 1919/1920 bzw. 1918 ihre berühmten Arbeiten über die Iteration komplexer rationaler Funktionen. Durch die Anwendung des Konzeptes der normalen Familie durch Fatou und Julia standen der komplexen Dynamik nun funktionentheoretische Ergebnisse zur Verfügung. Julia und Fatou gelang so der Durchbruch bei der Betrachtung des globalen dynamischen Verhaltens der Orbits: Sie stellten fest, dass die Riemannsche Zahlenkugel in zwei disjunkte Mengen zerfällt. In die heutzutage als Fatou - Menge bezeichnete Menge F(R), auf der zwei Orbits ein ähnliches Verhalten aufweisen, wenn ihre Startwerte hinreichend nahe beieinander liegen. Und in die heutzutage als Julia - Menge bezeichnete Menge J(R), auf der zwei verschiedene Orbits vollkommen unterschiedliches Verhalten aufweisen, auch wenn die Startwerte noch so dicht beieinander liegen. Wenngleich beispielsweise Julia ein weltbekannter Mathematiker in den 1920er Jahren war, gerieten die Arbeiten von Fatou und Julia alsbald in Vergessenheit. In den späten 70er Jahren des 20. Jahrhunderts gelangten sie aber erneut zur Berühmtheit aufgrund der Arbeiten von Benoit Mandelbrot (1924-) und anderen. Mandelbrots Onkel empfahl ihm Julias Arbeit von 1918 als eine inspirierende Quelle für ungelöste mathematische Probleme. Jedoch gefiel Mandelbrot Julias Arbeit nicht, da er keinen Zugang zu dieser Art von Mathematik fand. Deshalb ging Mandelbrot seinen eigenen Weg, der ihn allerdings 1977 wieder auf Julias Arbeit stoßen ließ. Mit Hilfe von Computerbildern zeigte Mandelbrot, dass Julias Arbeit eine Quelle für einige der schönsten Fraktale ist, die heutzutage bekannt sind.



Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Gang der Untersuchung:Diese Diplomarbeit vollzieht den für die Entwicklung der komplexen Dynamik so bedeutsamen Schritt der Anwendung des Konzeptes der normalen Familie nach.Während wir in Kapitel 1 funktionentheoretische Grundlagen und grundlegende Definitionen einführen und insbesondere zeigen, dass die rationalen Funktionen genau die auf C meromorphen Funktionen sind, wird im 2. Kapitel bereits der Begriff der normalen Familie meromorpher Funktionen eingeführt. In Abschnitt 2.2 beweisen wir den Satz von Arzelà und Ascoli (vergl. Satz 2.4), welcher normale Familien mit gleichgradig stetigen Familien in Zusammenhang bringt. In Abschnitt 2.3 wird der für die Arbeiten von Fatou und Julia sehr bedeutende Satz von Montel zitiert, mit dessen Hilfe besonders im 3. Kapitel viele Beweise geführt werden.Dieser Satz besagt anschaulich formuliert, dass, wenn jede Funktion einer Familie meromorpher (rationaler) Funktionen (mindestens) drei paarweise verschiedene Werte a, b, c 2 C nicht annimmt (diese müssen für jede Funktion dieselben drei paarweise verschiedenen Werte sein), diese Familie normal ist (vergl. Satz 2.5).Im 3. Kapitel werden die Julia - und Fatou - Menge über den Begriff der normalen Familie definiert und grundlegende Eigenschaften dieser Mengen bewiesen. In Abschnitt 3.2 werden die periodischen Orbits eingeführt und anhand ihrer Eigenwerte klassifiziert.Ein Ergebnis dieses Abschnittes ist, dass die (super)attraktiven periodischen Orbits in der Fatou - Menge und die repulsiven periodischen Orbits in der Julia - Menge liegen.In Abschnitt 3.3 wird die so genannte Ausnahmemenge eingeführt (vergl. Def. 3.19), anhand welcher deutlich wird, dass die für Julia - Mengen typische, bereits angedeutete lokale Abstoßung tatsächlich globaler Natur ist. Am Ende von Kapitel 3 beweisen wir den Satz, dass die Menge [ n2N0 {z 2 CIRn(z) = z0} (wobei z0 Element aus der Julia - Menge ist und R eine rationale Funktion vom Grad größer gleich 2) dicht in der Julia - Menge liegt. Aus diesem Satz werden wir im 4. Kapitel einen Algorithmus zum Zeichnen von Julia - Mengen mit einem Computer entwickeln und Julia - Mengen anhand ausgewählter Beispiele betrachten. Im 4. Kapitel wird insbesondere noch einmal das Newtonverfahren an einem Beispiel genauer betrachtet.Im 5. Kapitel werden wir dann die in Kapitel 3 über den Begriff der normalen Familie funktionentheoretisch definierten Julia - Mengen dynamisch charakterisieren, nämlich als den Abschluss []

Produktinformationen

Titel: Dynamik meromorpher Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel
Untertitel: Zur Charakterisierung von Julia-Mengen
Autor:
EAN: 9783836610261
ISBN: 978-3-8366-1026-1
Digitaler Kopierschutz: frei
Format: E-Book (pdf)
Herausgeber: Diplom.de
Genre: Sonstiges
Anzahl Seiten: 101
Veröffentlichung: 11.04.2014
Jahr: 2014
Dateigrösse: 3.9 MB

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