Die mathematische Untersuchung der Musterbildung auf Tierfellen

Einleitung: In der vorliegenden Arbeit wollen wir uns mit einem faszinierenden Beispiel für Selbstorganisation in der Natur befassen, und zwar mit der Ausbildung von Fellmustern bei Tieren. Die Fragen, welche wir uns schon bei dem einen oder anderen Zoobesuch gestellt haben, sind: Wie kommt das Zebra zu seinen Streifen? Und wie der Leopard zu seinen Flecken? Die Natur ist voller Muster - doch welcher Musterbildungsprozess mag einer solchen Fellzeichnung zugrunde liegen? In seinem amüsanten Essay 'How the leopard got its spots' versuchte sich der Dschungelbuch-Autor Rudyard Kipling an einer Erklärung. Danach standen Zebra und Giraffe lange genug im Halbschatten unter den Bäumen: '... und nach langer Zeit, weil sie halb im Schatten und halb in der Sonne standen, und wegen der flimmernd-flackernden Schatten der Bäume, die auf sie fielen, wurde die Giraffe fleckig, und das Zebra gestreift.'. Dem Leopard dagegen verhalf ein Mensch mit seinen Fingerabdrücken zu den Flecken: '...dann presste der Äthiopier seine fünf Finger fest zusammen (es war noch viel Schwarz auf seiner neuen Haut übrig) und drückte sie überall auf den Leoparden, und überall, wo seine fünf Finger hinkamen, machten sie fünf kleine schwarze Abdrücke, alle ganz eng zusammen. Du kannst sie auf jedem beliebigen Leopardenfell sehen [...] wenn du dir jetzt irgendeinen Leoparden genau anschaust, wirst du sehen, das es immer fünf Flecken sind - von fünf fetten schwarzen Fingerspitzen.' Dieser nicht ganz ernst gemeinte Versuch, den Ursprung der Muster zu deuten, zeigt jedoch auch, dass wir bei Musterbildungsprozessen nicht unbedingt intuitiv zu einer Erklärung gelangen. Modelle und Hypothesen gab es in den vergangenen Jahren viele, doch erst jetzt beginnen Wissenschaftler, die molekularen Grundlagen der Musterbildung zu enträtseln. Biomathematiker fanden heraus: Die Entwicklung der Fellmuster lässt sich mit einem einzigen Modell beschreiben - für unterschiedliche Tiere.[...]

Inhalt
INHALTSVERZEICHNIS:1.|Einleitung|42.|Die Entstehung von Tierfellmustern|82.1|Der Reaktions-Diffusions-Mechanismus ein mathematisches Modell nach Turing|92.2|Diffusionsbedingte Instabilität nach Turing|92.3|Stabilitätsanalyse|132.3.1.|Diffusionsgleichungssystem ohne Diffusion|152.3.2.|Diffusionsgleichungssystem mit Diffusion|162.4|Beispiele einer Turing-Analyse|232.5|Der Vergleich der Musterbildung mit der Realität|272.5.1.|Die Musterungen eines Tierfells|282.5.2.|Typische Schwanzmuster|333.|Verallgemeinerung auf mehrere Dimensionen|393.1.|Wiederholung und Hauptresultate|423.2.|Eigenschaften der Linearisierung|463.3.|Der Phasenraum|513.4.|Die frühen Musterbildungsphasen|553.4.1.|Die Zerlegung der Phasenräume|563.4.2.|Abschätzungen für die Nichtlinearität|603.4.3.|Das Hauptresultat der frühen Phase|613.5.|Annähernd lineares Verhalten|643.5.1.|Lineare Abschätzungen|653.5.2.|Abschätzungen für die Nichtlinearität|663.5.3.|Das Hauptresultat für die späte Phase|684.|Numerische Simulation von Mustern|724.1.|Ortsdiskretisierung einfacher Gebiete|724.2.|Allgemeine Grundlagen des Laplace-Operators|734.3.|Periodische Randbedingungen auf dem Rechteck|774.4.|Zeitdiskretisierung im Euler-Verfahren|784.5.|Realisierung des Schnakenberg-Modells|794.6.|Realisierung des Thomas-Modells|794.7.|Das explizite Euler-Verfahren|804.8.|Das implizite Euler-Verfahren|814.9.|Das ADI-Verfahren|844.10.|Simulation auf der Kegelstumpfoberfläche|864.10.1.|Das explizite Euler-Verfahren auf dem Kegel|884.10.2.|Das ADI-Verfahren auf dem Kegel|88A.|Anhang|89A.1.|Numerische Simulation des Rumpfs|90A.2.|Numerische Simulation von Extremitäten|91B.|Resümee & Ausblick|92C.|Abbildungsverzeichnis|94D.|Literaturverzeichnis|96