Grundlagen der Mathematik II

Der vorliegende Band schließt die Darstellung der Beweistheorie ab, die ich vor einigen Jahren zusammen mit P. BERNAYS begann. Auf meinen Wunsch hat P. BERNAYS wieder die Abfassung des Textes über nommen. Ich danke ihm für die Sorgfalt und Treue, mit der er meine Gedanken wiedergegeben hat, an deren Entwicklung er in jahrelanger Zusammenarbeit aufs stärkste beteiligt war. Ohne seine Mithilfe wäre die Vollendung dieses Buches unmöglich gewesen. Den Herren W. ACKERMANN, G. GENTZEN, A. SCHMIDT, H. SCHOLZ danke ich für ihre freundliche Mitwirkung bei den Korrekturen. Göttingen, im März 1939 HILBERT Zur Einführung Das vorliegende Buch soll einer eingehenden Orientierung über den gegenwärtigen Stoff der HILBERTschen Beweistheorie dienen. Wenn gleich das bisher hier Erreichte gemessen an den Zielen der Theorie sehr bescheiden ist, so liegt doch ein reichlicher Stoff an prägnanten Ergebnissen, an Gesichtspunkten und Beweisgedanken vor, die zur Kenntnis zu bringen als lohnend erscheint. Für die inhaltliche Gestaltung dieses zweiten Bandes waren durch den Zweck des Buches zwei Hauptthemata vorgezeichnet. - Es handelte sich einmal darum, die hauptsächlichen, an das e-Symbol sich knüpfenden beweistheoretischen Ansätze HILBERTS und ihre Durchführung zur ein gehenden Darstellung zu bringen.

Autorentext
David Hilbert (1862-1943) gilt als der vielleicht universellste Mathematiker des ausgehenden 19. und beginnenden 20. Jahrhunderts. Er hat auf zahlreichen Gebieten der Mathematik und der mathematischen Physik grundlegende neue Resultate vorgelegt und wesentliche Entwicklungen angebahnt.

Klappentext

Der vorliegende Band schließt die Darstellung der Beweistheorie ab, die ich vor einigen Jahren zusammen mit P. BERNAYS begann. Auf meinen Wunsch hat P. BERNAYS wieder die Abfassung des Textes über­ nommen. Ich danke ihm für die Sorgfalt und Treue, mit der er meine Gedanken wiedergegeben hat, an deren Entwicklung er in jahrelanger Zusammenarbeit aufs stärkste beteiligt war. Ohne seine Mithilfe wäre die Vollendung dieses Buches unmöglich gewesen. Den Herren W. ACKERMANN, G. GENTZEN, A. SCHMIDT, H. SCHOLZ danke ich für ihre freundliche Mitwirkung bei den Korrekturen. Göttingen, im März 1939 HILBERT Zur Einführung Das vorliegende Buch soll einer eingehenden Orientierung über den gegenwärtigen Stoff der HILBERTschen Beweistheorie dienen. Wenn­ gleich das bisher hier Erreichte gemessen an den Zielen der Theorie sehr bescheiden ist, so liegt doch ein reichlicher Stoff an prägnanten Ergebnissen, an Gesichtspunkten und Beweisgedanken vor, die zur Kenntnis zu bringen als lohnend erscheint. Für die inhaltliche Gestaltung dieses zweiten Bandes waren durch den Zweck des Buches zwei Hauptthemata vorgezeichnet. - Es handelte sich einmal darum, die hauptsächlichen, an das e-Symbol sich knüpfenden beweistheoretischen Ansätze HILBERTS und ihre Durchführung zur ein­ gehenden Darstellung zu bringen.

Inhalt
§ 1. Die Methode der Elimination der gebundenen Variablen mittels des Hileertschen ?-Symbols.- 1. Der Prozeß der symbolischen Auflösung von Existenzialformeln.- 2. Das Hilbertsche ?-Symbol und die ?-Formel.- 3. Beweis des ersten ?-Theorems.- 4. Nachweise von Widerspruchsfreiheit.- § 2. Beweistheoretische Untersuchung der Zahlentheorie mittels der an das ?-Symbol sich knüpfenden Methoden.- 1. Anwendung des Wf.-Theorems auf die Zahlentheorie.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das erste ?-Theorem.- 3. Hindernisse für die Einbeziehung des unbeschränkten Induktionsschemas in das Eliminationsverfahren. Formalisierung des Induktionsprinzips mit Hilfe einer zweiten Formel für das ?-Symbol. Überleitung zu dem ursprünglichen Hilbertschen Ansatz.- 4. Der ursprüngliche Hilbertsche Ansatz zur Ausschaltung der ?-Symbole und seine weitere Verfolgung.- § 3. Anwendung des ?-Symbols auf die Untersuchung des logischen Formalismus.- 1. Das zweite ?-Theorem.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das zweite ?-Theorem Anknüpfende Eliminationsbetrachtungen.- 3. Der Herbrandsche Satz.- 4. Kriterien der Widerlegbarkeit im reinen Prädikatenkalkul.- 5. Anwendung der erhaltenen Kriterien auf das Entscheidungsproblem.- § 4. Die Methode der Arithmetisierung der Metamathematik in Anwendung auf den Prädikatenkalkul.- 1. Durchführung einer Arithmetisierung der Metamathematik des Prädikatenkalkuls.- 2. Anwendung der Arithmetisierungsmethode auf den Gödelschen Vollständigkeitssatz.- § 5. Der Anlaß zur Erweiterung des methodischen Rahmens der Beweistheorie.- 1. Grenzen der Darstellbarkeit und der Ableitbarkeit in deduktiven Formalismen.- 2. Die formalisierte Metamathematik des zahlentheoretischen Formalismus.- 3. Überschreitung desbisherigen methodischen Standpunktes der Beweistheorie. Nachweise der Widerspruchsfreiheit für den vollen zahlentheoretischen Formalismus.- Supplement I: Zur Orientierung über den Prädikatenkalkul und anschließende Formalismen.- A. Der reine Prädikatenkalkul.- B. Der Prädikatenkalkul in Anwendung auf formalisierte Axiomensysteme. Die ?-Regel. Zahlentheoretische Formalismen.- C. Sätze über den Prädikatenkalkul.- D. Modifizierte Form des Prädikatenkalkuls.- Supplement II: Eine Präzisierung des Begriffs der berechenbaren Funktion und der Satz von Church über das Entscheidungsproblem.- A. Begriff der regelrecht auswertbaren Funktion. Auswertung im Formalismus (Z°).- B. Quasirekursive und regelrecht auswertbare Funktionen. Normaldarstellung. Auswertung im Formalismus (Z00). Anwendung des Cantorschen Diagonalverfahrens.- C. Die Unmöglichkeit einer allgemeinen Lösung des Entscheidungsproblems für den Prädikatenkalkul.- Supplement III: Über gewisse Bereiche des Aussagenkalkuls und ihre deduktive Abgrenzung mit Hilfe von Schematen.- A. Die positiv identischen Implikationsformeln.- B. Die positiv identischen I-K-Formeln.- C. Die identischen I-K-N-Formeln.- Supplement IV: Formalismen zur deduktiven Entwicklung der Analysis.- A. Aufstellung eines Formalismus.- B. Gewinnung der Zahlentheorie.- C. Theorie der Maßzahlen.- D. Theorie der reellen Zahlen. Bemerkungen Tiber die weitere Formalisierung der Analysis.- E. Theorie der Wohlordnungen der Mengen von ganzen Zahlen.- F. Modifikationen des Formalismus. Vermeidung des ?-Symbols.- G. Verwendung gebundener Formelvariablen.- Supplement V: Widerspruchsfreiheitsbeweise für den zahlentheoretischen Formalismus.- A. Der Kalmársche Widerspruchsfreiheitsbeweis.- B. Der Ackermannsche Widerspruchsfreiheitsbeweis.-Namenverzeichnis.