Theorie und Numerik von ausgewählten Verfahren der nichtlinearen Optimierung

Nadeshda Botschkarewa

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Beschreibung

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,3, Universität Ulm (Numerische Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungsaufgaben. Es werden theoretische Grundlagen von mehreren Verfahren unter den Gesichtspunkten der Korrektheit und der Effizienz ausgearbeitet und durch Beispiele und mit Matlab R2008a erzeugten Abbildungen aufgelockert. In dem folgenden einleitenden Kapitel sind Definitionen und Sätze aus Optimierungstheorie, Linearer Algebra, Analysis und Numerik zusammengestellt und Kriterien zur Konvergenzanalyse erklärt. Da die Lösung von drei der behandelten Verfahren auf die Lösung von sogenannten unrestringierten Problemen oder eines Gleichungssystems zurückgeführt wird, wird zuerst ein Newton-artiges Verfahren vorgestellt und wünschenswerte Eigenschaften, wie globale Konvergenz, hohe Konvergenzordnung des Verfahrens, erörtert. Im nächsten Kapitel wird das sogenannte Penalty-Verfahren anhand einer Penalty-Funktion mit einem Algorithmus für eine numerische Behandlung vorgestellt und seine Konvergenzeigenschaften anhand der im ersten Kapitel erklärten Konvergenzkriterien analysiert. Die Nachteile des in dem Kapitel vorgestellten Verfahrens werden durch eine Anwendung von sogenannten exakten Penalty-Funktionen aufgehoben, was auch kurz erläutert wird. Auf der Grundlage des Penalty-Verfahrens wird die Penalty-Lagrange- Methode mit einer vollständigen algorithmischen Darstellung der theoretischen Herleitung vorgestellt und eine Konvergenzanalyse durchgeführt. Das sogenannte Barriere- Verfahren wird nach dem gleichen Schema vorgestellt, basierend auf der Idee und einigen im Rahmen des Barriere-Verfahrens getroffenen Aussagen wird eine Version aus der Klasse der Innere-Punkte-Verfahren erörtert. Den Schlußpunkt der Arbeit setzen numerische Fallstudien im letzten Abschnitt, wobei die Effizienz der Verfahren im Mittelpunkt der Untersuchung steht.