Logikkalküle

In diesem Buch werden Aspekte der Aussagenlogik und der Prädikaten logik der ersten Stufe behandelt. Eine Mathematisierung und Kalkü lisierung der Logik kann natürlich ganz verschieden ausfallen, je nach dem, von welchen Motiven man sich primär leiten läßt. Wir stellen drei Gesichtspunkte, die uns auch als die wesentlichsten erscheinen, in den Vordergrund: Die Formalisierung des Wahrheits begriffes, die Formalisierung des Beweisbarkeitsbegriffes und das Problem des Suchens nach Beweisen. Diese drei Aspekte führen zu drei verschiedenen Arten von Kalkülen. Die Betonung des Wahrheitsbegriffes führte auf die untersuchung der Hilberttypkalküle von einem Standpunkt, wie er etwa auch im Buch von Rasiowa-Sikorski [Ra-Si] eingenommen wird. Hierbei wurde besonderen Wert auf die algebraischen Techniken gelegt, denn die Natur der Vollständigkeitsbeweise in diesen Kalkülen läßt sich u. E. eigentlich nur algebraisch verstehen. Etwas überspitzt könnte man formulieren, daß die Vollständigkeitsbeweise in Hilberttypkal külen Korollare zu Betrachtungen über Kongruenzrelationen in ge wissen Boole'schen Algebren sind. Bei den modelltheoretischen Be trachtungen haben wir uns kurz ge faßt und nur einige grundlegende Begriffe vorgestellt.

Klappentext

In diesem Buch werden Aspekte der Aussagenlogik und der Prädikaten­ logik der ersten Stufe behandelt. Eine Mathematisierung und Kalkü­ lisierung der Logik kann natürlich ganz verschieden ausfallen, je nach dem, von welchen Motiven man sich primär leiten läßt. Wir stellen drei Gesichtspunkte, die uns auch als die wesentlichsten erscheinen, in den Vordergrund: Die Formalisierung des Wahrheits­ begriffes, die Formalisierung des Beweisbarkeitsbegriffes und das Problem des Suchens nach Beweisen. Diese drei Aspekte führen zu drei verschiedenen Arten von Kalkülen. Die Betonung des Wahrheitsbegriffes führte auf die untersuchung der Hilberttypkalküle von einem Standpunkt, wie er etwa auch im Buch von Rasiowa-Sikorski [Ra-Si] eingenommen wird. Hierbei wurde besonderen Wert auf die algebraischen Techniken gelegt, denn die Natur der Vollständigkeitsbeweise in diesen Kalkülen läßt sich u. E. eigentlich nur algebraisch verstehen. Etwas überspitzt könnte man formulieren, daß die Vollständigkeitsbeweise in Hilberttypkal­ külen Korollare zu Betrachtungen über Kongruenzrelationen in ge­ wissen Boole'schen Algebren sind. Bei den modelltheoretischen Be­ trachtungen haben wir uns kurz ge faßt und nur einige grundlegende Begriffe vorgestellt.

Inhalt

1. Einführung und Hilfsmittel.- 1.1 Vorbemerkungen.- 1.2 Erster Abschnitt zur (klassischen) Aussagenlogik.- 1.3 Exkurs in die Allgemeine Algebra.- 1.4 Exkurs über Verbände.- 1.5 Boole'sche Algebren.- 1.6 Heytingalgebren.- 1.7 Orthomodulare Verbände.- 2. Die Aussagenlogik und ihre Vollständigkeitssätze (Hilberttypkalküle).- 2.1 Noch einmal Aussagenlogik ganz allgemein.- 2.2 Klassische Aussagenlogik.- 2.3 Intuitionistische Aussagenlogik.- 2.4 Quantenlogik.- 3. Die Prädikatenlogik und ihre Vollständigkeitssätze (Hilberttypkalküle).- 3.1 Offene Prädikatenlogik (klassisch).- 3.2 Prädikatenlogik mit Quantoren; Substitutionen.- 3.3 Der Gödel'sche Vollständigkeitssatz.- 3.4 Prädikatenlogik mit Gleichheit.- 3.5 Ultraprodukte und der Kompaktheitssatz für beliebige Sprachen der Prädikatenlogik.- 3.6 Intuitionistische Prädikatenlogik.- 4. Gentzensysteme.- 4.1 Der Sequenzenkalkül LK von Gentzen für die klassische Logik und einige seiner grundlegenden Eigenschaften.- 4.2 Der Schnitteliminationssatz und Gentzens Hauptsatz.- 4.3 Einige Anwendungen des Schnitteliminationssatzes.- 4.4 Semantische Betrachtungen, Vollständigkeit.- 4.5 Die Logik mit Gleichheit.- 4.6 Der intuitionistische Gentzenkalkül LJ.- 5. Testmethoden und die Kalküle des Automatischen Beweisens.- 5.1 Allgemeines über Testmethoden.- 5.2 Der Kalkül von Maslov.- 5.3 Die Resolutionsmethode.- 5.4' Die Paramodulation.- 5.5 Reduktionssysteme.- Symbolverzeichnis.