Mathematik für Biologen

Die Physik und die Ingenieurwissenschaften bedienten sich schon immer mathematischer Methoden. Seit einigen lahren oder lahr zehnten findet die Mathematik auch in anderen Wissenschaften Eingang. In der Biologie gab es schon friih vielversprechende Ansatze fiir mathematische ModeIIe und gegenwartig breitet sich die Anwendung mathematischer Methoden rasch aus. Aufgrund der Komplexitat biologischer Vorgange ist es aIIerdings schwieriger als in der Physik, mathematische ModeIIe zu entwerfen, die zu einer befriedigenden Ubereinstimmung mit experimenteIIen Daten fUhren. Diesen Tatsachen entsprechend wird an den meisten Universi taten fiir die Studenten der Biologie eine Ausbildung in Mathematik vorgesehen, die allerdings - wegen der groBeren Bela stung durch andere Nebenfiicher - an Umfang hinter der der Physikstudenten zuriicksteht. In dem zur VerfUgung stehenden Rahmen sollte den Studenten ein Wissen vermittelt werdeJl, das sie zur Behandlung konkreter nichttrivialer Probleme und zum Verstandnis mathe matisch-biologischer Arbeiten befiihigt, das andererseits in den mathematischen Grundlagen nicht unbedingt voIIstandig sein muB. Das vorliegende Buch, das aus einigen mathematischen Vor lesungen fUr Biologen an der Universitat Tiibingen entstanden ist, bietet eine entsprechende Auswahl mathematischer Gebiete mit biologischen Anwendungen. Die getroffene Auswahl ist na tiirIich subjektiv, eine Erweiterung in der einen oder anderen Richtung ist durchaus erwagenswert. Mehrere Abschnitte geben auch dem Studenten der Mathe matik Anregungen und Beispiele fiir die Anwendung mathemati scher Satze auf biologische Probleme.

Inhalt

1. Mengen.- 2. Abbildungen.- 3. Folgen.- 4. Zahlen.- 5. Mengen und Folgen reeller Zahlen.- 6. Reihen.- 7. Stetigkeit reeller Funktionen.- 8. Differenzierbarkeit.- 9. Die Umkehrfunktion und ihre Ableitung.- 10. Mittelwertsätze und Taylorscher Satz.- 11. Funktionenfolgen-und reihen.- 12. Elementare Funktionen.- 13. Monotonie und Konvexität.- 14. Relative Extreme.- 15. Die Regeln von de l'Hospital.- 16. Integration.- 17. Integration und Differentiation.- 18. Berechnung von Integralen.- 19. Iterationen und Differenzengleichungen.- 20. Komplexe Zahlen.- 21. Polynome und rationale Funktionen.- 22. Lineare Räume.- 23. Lineare Abbildungen.- 24. Lineare Gleichungen und Determinanten.- 25. Eigenwertaufgaben.- 26. Mengen, Folgen und Funktionen im mehrdimensionalen Raum.- 27. Die Differentiation einer Funktion von mehreren Veränderlichen.- 28. Ausgleichsrechnung.- 29. Interpolation und Approximation.- 30. Iterationen in mehrdimensionalen Räumen.- 31. Ein Räuber-Beute-Modell mit getrennten Generationen.- 32. Das Hardy-Weinberg-Gesetz.- 33. Ein grundlegendes Selektionsmodell.- 34. Die Zunahme der mittleren Fitness.- 35. Die Entwicklung einer Population.- 36. Die Gleichgewichtszustände.- 37. Stabilität der Gleichgewichtszustände.- 38. Der Fall zweier Allele.- 39. Ein Beispiel einer Markoffschen Kette.- 40. Über laterale Inhibition.- 41. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 42. Einfach integrier bare Fälle.- 43. Die lineare Differentialgleichung.- 44. Das Richtungsfeld.- 45. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 46. Numerische Methoden.- 47. Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 48. Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 49. Systeme von Differentialgleichungen.- 50. Stationäre Zustände.- 51. Stationäre Zustände zweidimensionaler Systeme.- 52. Daskontinuierliche Räuber-Beute-Modell.- 53. Ein kontinuierliches Selektionsmodell.- 54. Die mittlere Fitness und die Gleichgewichtszustände der Population.- 55. Das Stabilitätsproblem.- 56. Der Fall zweier Allele.- 57. Das Hodgkin-Huxley-Nervenmodell.- 58. Laplace-Transformation.- 59. Differentialgleichungen mit verzögertem Argument.- 60. Zur Theorie der Epidemien.- 61. Die Wärmeleitungsgleichung.- 62. Mehrdimensionale Wärmeleitungsprobleme.- 63. Die Wellengleichung.- 64. Algebraische Strukturen.- 65. Wahrscheinlichkeitsräume.- 66. Einfache kombinatorische Betrachtungen.- 67. Bedingte Wahrscheinlichkeiten.- 68. Zufallsvariable.- 69. Verteilung und Verteilungsfunktion.- 70. Die Binomial-Verteilung.- 71. Die hypergeometrische Verteilung.- 72. Stetige Verteilungen.- 73. Die Poisson-Verteilung.- 74. Beziehungen zwischen den Verteilungen.- 75. Testen von Hypothesen.- 76. Der Rang-Test (Wilcoxon-Mann-Whitney-Test).- 77. Schätzen von Parametern.- Literatur.