Die Berechnung von stofflichen und energetischen Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Matrixmethode

In der Natur treten in den verschiedenen in sich abgeschlosse nen Bereichen Ausgleichsvorgange auf. Solche Vorgange zeichnen sich dadurch aus, daB ein System durch einen auBeren EinfluB ge start wird. 1m folgenden werden ausschlieBlich Ausgleichsvorgan ge der klassischen Physik betrachtet, bei denen die Erhaltungs satze von Energie, Stoff und Impuls gUltig sind. Die mathemati sche Beschreibung dieser physikalischen Erscheinungen erfolgt durch partielle Differentialgleichungen ersten Grades zweiter Ordnung. Die Lasung der Differentialgleichung ergibt schlieBlich das gesuchte Feld in Abhangigkeit von Zeit und Ort. Die Fouriersche Differentialgleichung fUr ein nicht ruhendes Sy stem mit Quellen liefert die allgemeinste Form der mathemati schen Beschreibung eines Ausgleichsvorganges. Es gilt a,,- (a", a,J-+v H)= L(, a",),+ L(, a..r) + L(, a",) + 'I' ( ) cp "t +cp Vx---"--x +v" " ,,1 ax ay Iyay az Iz az x,y,z,t o 0 Y oy z oZ oX X (1 ) Die Bedeutung der einzelnen GraBen ist im Anhang erlautert. Die weitere Betrachtung beschrankt sich auf solche Falle, bei denen die sogenannten konvektiven Glieder der Differentialgleichung (1) verschwinden, weil die Geschwindigkeiten vx=v =vz=O sind. Man betrachtet damit ein ruhendes System. Ein sol~hes System liegt fUr den Energie- und Stoff transport in jedem festen Karper vor.

Klappentext

In der Natur treten in den verschiedenen in sich abgeschlosse­ nen Bereichen Ausgleichsvorgange auf. Solche Vorgange zeichnen sich dadurch aus, daB ein System durch einen auBeren EinfluB ge­ start wird. 1m folgenden werden ausschlieBlich Ausgleichsvorgan­ ge der klassischen Physik betrachtet, bei denen die Erhaltungs­ satze von Energie, Stoff und Impuls gUltig sind. Die mathemati­ sche Beschreibung dieser physikalischen Erscheinungen erfolgt durch partielle Differentialgleichungen ersten Grades zweiter Ordnung. Die Lasung der Differentialgleichung ergibt schlieBlich das gesuchte Feld in Abhangigkeit von Zeit und Ort. Die Fouriersche Differentialgleichung fUr ein nicht ruhendes Sy­ stem mit Quellen liefert die allgemeinste Form der mathemati­ schen Beschreibung eines Ausgleichsvorganges. Es gilt a,,- (a", a,J-+v H)= L(, a",),+ L(, a..r) + L(, a",) + 'I' ( ) cp "t +cp Vx---"--x +v" " ,,1\ ax ay I\yay az I\z az x,y,z,t o 0 Y oy z oZ oX X (1 ) Die Bedeutung der einzelnen GraBen ist im Anhang erlautert. Die weitere Betrachtung beschrankt sich auf solche Falle, bei denen die sogenannten konvektiven Glieder der Differentialgleichung (1) verschwinden, weil die Geschwindigkeiten vx=v =vz=O sind. Man betrachtet damit ein ruhendes System. Ein sol~hes System liegt fUr den Energie- und Stoff transport in jedem festen Karper vor.

Inhalt

1. Einleitung.- 2. Übersicht der Lösungsmethoden.- 3. Die Matrixmethode für eindimensionale Fälle mit konstanten Stoffwerten.- 3.1 Aufstellen der Matrizendifferentialgleichung.- 3.2 Lösung der Matrizendifferentialgleichung.- 3.3 Berechnungsbeispiele.- 3.4 Fehleruntersuchung der Matrixmethode und Genauigkeitsvergleich mit Differenzenverfahren.- 4. Die Matrixmethode für zweidimensionale Fälle mit konstanten Stoffwerten.- 4.1 Aufstellen der Matrizendifferentialgleichung.- 4.2 Lösung der Matrizendifferentialgleichung.- 4.3 Berechnungsbeispiele.- 4.4 Fehleruntersuchung der Matrixmethode und Genauigkeitsvergleich mit Differenzenverfahren.- 5. Die Matrixmethode mit variablen Stoffwerten.- 5.1 Aufstellen der Matrizendifferentialgleichung.- 5.2 Lösung der Matrizendifferentialgleichung.- 5.3 Berechnungsbeispiel Aufkohlung eines zylindrischen Blocks.- 5.4 Fehleruntersuchung.- 6. Optimierung der Berechnung.- 6.1 Berechnung der Matrizeninversion.- 6.2 Berechnung der Matrizenexponentialfunktion.- 7. Vergleich der Matrixmethode mit anderen Berechnungsmethoden.- 7.1 Programmieraufwand.- 7.2 Speicherbedarf und Rechenzeit.- 7.3 Lineare und nichtlineare Probleme.- 7.4 Genauigkeit.- 7.5 Auswahl der Methode.- 8. Zusammenfassung.- Formelzeichen und Abkürzungen.- a) Abbildungen.- b) Tabellen.