Koordinaten-Geometrie

An Lehrbiichern der analytischen Geometrie herrscht kein Mangel. Sie gehen im allgemeinen nicht zu weit iiber das hinaus, was der Studierende bereits von der Schule mitbringt, und wollen meist offenbar nur eine Vorbereitung fiir die Differentialrechnung sein. Daher befolgen sie eine gemischte Methode, insofern sie die synthe tische Elementargeometrie voraussetzen und sich darauf beschranken, deren Aussagen nachtraglich in das neue Gewand des Koordinaten apparats zu kleiden. Der in dieser Weise behandelte Stoff ist im wesentlichen seit zwei J ahrhunderten bekannt, und man konnte daraus schlieBen, daB die analytische Geometrie seit jener Zeit erstarrt sei. Tatsachlich hat wahrend der groBeren Halfte des verflossenen Jahrhunderts die synthetische Geometrie, in Deutschland die Steinersche Schule, das Hauptinteresse absorbiert. Dariiber ist einmal die analytiEche Geo metrie, die gleiche Erfolge nicbt aufzuweisen hatte, in MiBkredit gekommen, und andererseits hat eine gewisse Vereinseitigung statt gefunden, insofern die Synthetiker nur ein Sondergebiet, die projek tive Geometrie, pflegten und sich um andere Dinge, insonderheit um die Elementargeometrie kaum kiimmerten. Fiir die Koordinatengeometrie wurde der erste neue Gedanke nach langer Zeit 1872 von F. Klein in seinem Erlanger Programm ausgesprocben (vgl. S. 199 bis 202 dieses Buches). Klein erkannte wie sich die uniibersehbare Fiille geometrifcher Einzelerscheinungen in eine Reihe von Systemen einordnen laBt. Damit wurden die Invariantentheorie und die Lehre von den Transformationsgruppen Hilfswissenschaften der analytischen Geometrie, und es wurde u. a. auch der Nichteuklidischen Geometrie, die sich bis dahin nur zag haft entwickelt hatte, ein fester Platz angewiesen.

Inhalt
I.- 1. Der Punkt.- 2. Die Gerade.- 3. Systeme linearer Gleichungen.- 4. Punkte und gerade Linien.- 5. Parallele Gerade.- 6. Quadratische Gleichungen.- 7. Der Kreis..- 8. Kreis und Gerade.- 9. Isotrope Gerade.- 10. Spiegelung an einer Geraden.- 11. Orthogonalität.- 12. Schiebungen.- 13. Dehnungen.- 14. Bewegungen und Umlegungen.- 15. Elementare Geometrie. Themastellung.- 16. Transformationsgruppen.- 17. Reelle Deutung imaginärer Punkte.- 18. Abstrakte Koordinatengeometrie.- II.- 19. Geradenkoordinaten.- 20. Die uneigentliche Gerade.- 21. Geradentransformation.- 22. Speere.- 23. Entfernung nichtparalleler Punkte.- 24. Polarkoordinaten.- 25. Speergleichung.- 26. Stäbe.- 27. Vektoren.- 28. Linienelemente.- III.- 29. Kollineationen.- 30. Homogene Punktkoordinaten.- 31. Gerade und Punkte.- 32. Punktreihe und Geradenbüschel.- 33. Satz von Desargues.- 34. Vierseit und Viereck.- 35. Harmonische Lage.- 36. Dreieckskoordinaten.- 37. Kollineationen. Erster Typus.- 38. Kollineationen. Zweiter Typus.- 39. Kollineationen. Dritter Typus.- 40. Kollineationen. Vierter Typus.- 41. Kollineationen. Fünfter Typus.- 42. Charakteristische Gleichung.- 43. Affinitäten.- 44. Dehnungen.- 45. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen.- IV.- 46. Korrelationen.- 47. Polaritäten.- 48. Singuläre Kurven zweiter Ordnung.- 49. Gleichung in Geradenkoordinaten.- 50. Kurven zweiter Ordnung. Schnitt mit einer Geraden.- 51. Distanz zweier Punkte.- 52. Kurven zweiter Klasse. Schnitt mit einem Büschel.- 53. Angulus zweier Geraden.- 54. Transformation der Kurven zweiter Ordnung.- 55. Pol und Polare.- 56. Kollineare Kurven zweiter Ordnung.- 57. Automorphe Kollineationen.- 58. Ein System komplexer Zahlen.- 59. Parameterdarstellungen.- 60. Automorphe Kollineationen. Zweite Darstellung.- 61. Parameter und Koeffizienten einer automorphen Kollineation.- 62. Einteilung der automorphen Kollineationen.- 63. Untergruppen automorpher Kollineationen.- 64. Nichteuklidische Geometrie.- 65. Nichteuklidische Metrik.- 66. Nichteuklidische Trigonometrie.- 67. Natur der elementaren Geometrie.- V.- 68. Reelle Kollineationen.- 69. Reelle Kurven zweiter Ordnung.- 70. Affine Geometrie der Kurven zweiter Ordnung.- 71. Reelle Affinitäten.- 72. Geometrie der Dehnungen.- 73. Reelle Dehnungen.- 74. Bewegungen und Umlegungen.- 75 Reelle Bewegungen und Umlegungen.- 76. Hyperbolische Geometrie.- 77. Elliptische Geometrie.- 78. Erweiterung der Nichteuklidischen Gruppen.- 79. Die vier sphärischen Geometrien.- 80. Zur Elementargeometrie.