Über Kronecker-Produkte irreduzibler Darstellungen von SL (2, ?)

H. Neunhöffer

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Beschreibung

Das Problem der Zerfallung von Kronecker-Produkten irreduzibler Darstellungen der SL(2, lR) in irreduzible wurde von PUKANSZKY [9] im lahr 1961 in die Literatur eingefiihrt. Er behandelte den Fall, in dem beide Ausgangsdarstellungen der kontinuierlichen Serie angehoren, und bestimmte die Vielfachheit und die MaBklasse, mit der die verschiedenen irreduziblen Darstellungen in der Zerfallung vorkommen. Seine Methode fUr das kontinuierliche Spektrum bestand darin, den Casimir-Operator der Produkt-Darstellung auf die unter der maximal-kompakten Unter gruppe K biinvarianten Vektoren einzuschranken und aus den Spektral Eigenschaften des dann entstehenden gewohnlichen Differential-Opera tors auf die Spektral-Eigenschaften der Zerfallung in irreduzible Darstel lungen zu schlieBen. In den folgenden lahren wurde das Problem mehr fach wieder aufgenommen und verallgemeinert. Dabei wurden sehr ver schiedene Methoden angewandt, und die Mathematiker und Physiker gebrauchten oft verschiedene Fachsprachen. MARTIN behandelte in [5] den Fall einer reellen Rang-l-Lie-Gruppe. Seine Methode beruht darauf, daB fUr Hauptserie® Hauptserie die Kronecker-Produkt-Darstellung als Teildarstellung in die regulare Darstellung eingebettet werden kann, und dann kann man die Plancherel-Formel der Gruppe anwenden. Dies schlieBt das Vorkommen der erganzenden Serie aus, da das Plancherel MaB von Hauptserie und diskreter Serie getragen wird. AuBerdem hangt der genannte EinbettungsprozeB von allgemeinen Satzen aus der Theorie der induzierten Darstellungen ab, die keine Information tiber die auftre tenden SpektralmaBe liefem. Ftir den Fall einer komplexen Lie-Gruppe hat WILLIAMS [15] diese Satze so verscharft, daB er die SpektralmaBe explizit auf das Plancherel-MaB beziehen kann.