Nichtlineare Mechanik

Fast alle Probleme der Mechanik, die man mathematisch durch eine lineare Differentialgleichung zu formulieren pflegt, sind, streng genommen, nichtlinear, d. h. sie miiBten eigentlich durch eine nicht lineare Differentialgleichung ausgedriickt werden. Man hat die Probleme lediglich deshalb linearisiert, um den mathematischen Schwierigkeiten, die solche Differentialgleichungen bereiten, aus dem Wege zu gehen und dafiir die gut ausgebildete und iibersichtliche Theorie der linearen Differentialgleichungen anwenden zu konnen. Auf zwei wichtige Zweige der Mechanik hat man dieses Verfahren der Linearisierung besonders konsequent angewandt, niimlich auf die Elastostatik und auf die Schwingungslehre. So wurden zwei Lehr gebiiude der linearisierten Theorie errichtet, deren Gestalt im groBen und in vielen Einzelheiten heute schon endgiiltig geformt ist. All miihlich sind nun aber auch die Unzuliinglichkeiten zutage getreten, die diesen klassischen linearisierten Theorien anhaften. Sie bestehen einerseits darin, daB sie die tatsiichlichen mechanischen Vorgiinge nur geniihert beschreiben und daher hohere Anspriiche an Genauigkeit oft nicht erfiillen konnen, und andererseits, was noch viel schwerer wiegt, in der Tatsache, daB das Linearisierungsverfahren die Struktur ge wisser Differentialgleichungen so stark andert, daB zahlreiche inter essante Erscheinungen auch rein qualitativ iiberhaupt nicht mehr wiedergegeben und somit aus dem Komplex der tatsachlich auftreten den physikalischen Vorgiinge von vornherein ausgesiebt werden. Durch die Anwendung, welche die Mechanik in der Technik in den letzten Jahrzehnten erfahren hat, erwies sich aber nun gerade eine Steigerung der Genauigkeit und eine Beschreibung der durch die lineare Theorie nicht erfaBbaren Effekte, die in der Technik teilweise jetzt schon eine wichtige Rolle spielen, als dringend erwiinscht.

Inhalt
Erster Teil: Elastostatik.- § 1. Ein Elastizitätsgesetz für kleine Verzerrungen.- 1. Der Spannungszustand.- 2. Der Verzerrungszustand.- 3. Die allgemeine Form des Elastizitätsgesetzes für kleine Verzerrungen.- 4. Die Verzerrungsarbeit.- 5. Die konjugierte Verzerrungsarbeit.- 6. Variationsprinzipe.- a) Das Minimalprinzip für die Verschiebungen.- b) Das Minimalprinzip für die Spannungen.- 7. Das Verfahren von Ritz.- 8. Das Verfahren von Galerkin.- 9. Einfache exakte Lösungen der Grundgleichungen.- a) Der hydrostatische Spannungszustand.- b) Die eindimensionale Zug- oder Druckbeanspruchung.- c) Die eindimensionale Dehnung.- d) Reine Schubbeanspruchung.- e) Torsion eines Kreiszylinders.- 10. Wege zur experimentellen Bestimmung des Elastizitätsgesetzes.- 11. Zwei einfache Sonderfälle.- § 2. Der ebene Spanmmgszustand und das Biegeproblem.- 12. Die Grundgleichungen des ebenen Spannungszustandes in rechtwinkligen Koordinaten.- 13. Das ebene Problem der reinen Biegung.- 14. Das räumliche Problem der reinen Biegung.- a) Zulässigkeit der Faservorstellung.- b) Der Weg zur allgemeinen Lösung.- c) Lösung für einen Sonderfall.- d) Grundlagen einer nichtlinearen technischen Biegelehre.- 15. Das ebene Problem der Biegung durch eine Einzellast.- a) Das Verfahren der Störungsrechnung.- b) Anwendung des Verfahrens der Störungsrechnung.- c) Anwendung des Verfahrens von Ritz.- d) Beurteilung der beiden Verfahren.- 16. Die Grundgleichungen des ebenen Spannungszustandes in Polarkoordinaten.- 17. Beispiel für ebene Spannungszustände in Polarkoordinaten.- a) Momentenbeanspruchung der Kreisringscheibe.- b) Der ebene Keil mit einem Moment an der Spitze.- c) Der ebene Keil mit stetiger Rückenlast.- d) Die unendliche Scheibe mit kreisförmigem Loch unter Zug.- § 3. Drehsymmetrische Spannungszustände.- 18. Die rotierende Scheibe.- a) Die Grundgleichungen.- b) Die Scheibe gleicher Festigkeit.- c) Die Scheibe gleicher Dicke.- 19. Das dickwandige Rohr.- a) Ebener Spannungszustand.- b) Ebener Verzerrungszustand.- 20. Die Hohlkugel.- §4. Torsion zylindrischer Stäbe mit beliebigem Querschnitt.- 21. Die Grundgleichungen des Torsionsproblems.- 22. Der Stab mit elliptischem Querschnitt.- § 5. Biegung dünner Platten.- 23. Die Plattengleichung.- 24. Die drehsymmetrisch beanspruchte Kreisplatte.- 25. Anwendung der Verfahren von Ritz und von Galebkik.- Zweiter Teil: Schwingungslehre.- A. Schwingungen mit einem Freiheitsgrad.- 26. Die Bewegungsgleichung eines Verbandes mit einem Freiheitsgrad und der Äquivalenzsatz.- 27. Die Darstellung der äquivalenten Punktbewegung.- 28. Stabilität.- I. Autonome Bewegungen.- § 1. Allgemeine Untersuchungen.- 29. Einige Sätze über Phasenkurven.- 30. Die Formen der Phasenkurven.- 31. Schwingungsbewegungen.- 32. Einzugs- und Einkreisungsgebiete.- 33. Verlauf der Phasenkurven in der Umgebung eines stationären Punktes.- 34. Ein Kriterium für beliebige Kennflächen.- 35. Der Index eines stationären Punktes und einer geschlossenen Kurve.- 36. Zwei Sätze über Grenzzykel.- 37. Phasenzylinder.- 38. Polarkoordinaten.- 39. Ein Näherungsverfahren zur Bestimmung des zeitlichen Ablaufs der Bewegung.- § 2. Konservative Schwingungen.- 40. Potential und Energiefläche.- 41. Eigenschaften der stationären Punkte.- 42. Die Schwingungsdauer.- 43. Über- und unterlineare Kennlinien.- 44. Beispiele.- a) Kubische Annäherung einer punktsymmetrischen Kennlinie mit linearem Glied.- b) Durchschlagschwinger.- c) Schwerer Massenpunkt auf gekrümmter Bahn in vertikaler Ebene.- d) Punktpendel.- e) Elastisch abgefederte stromführende Leitung.- f) Schwerer Massenpunkt auf zwei schiefen Ebenen.- g) Wackelschwinger.- 45. Ein Umkehrproblem.- 46. Kennlinien für gleichbleibende Schwingungsdauer.- § 3. Gedämpfte Schwingungen.- 47. Die Dämpfungsfunktion.- 48. Graphische Integrationsverfahren.- a) Das Verfahren von Liénard.- b) Das Isoklinenverfahren.- c) Das Verfahren von Schäfer.- 49. Näherungsrechnung für die Schwingungsdauer.- 50. Coulombsche und Turbulenzdämpfung.- a) Coulombsche Dämpfung.- b) Turbulenzdämpfung.- c) Allgemeinere Fälle.- 51. Das Näherungsverfahren von Kryloff und Bogoljuboff.- a) Erste Näherung.- b) Verbesserung des Verfahrens.- c) Die linearisierte Vergleichsschwingung.- 52. Bestimmung der Dämpfungsfunktion aus der Amplitudenfolge.- 53. Ein Näherungsverfahren zur direkten Bestimmung der Amplitudenfolge.- 54. Werkstoffdämpfung.- § 4. Selbsterregte Schwingungen.- 55. Einleitung.- 56. Grundbegriffe.- 57. Schwache stetige Selbsterregung.- a) Das Verfahren von Kryloff und Bogoljuboff.- b) Ein Näherungsverfahren für beliebige Kennlinien.- c) Das Verfahren der Störungsrechnung.- 58. Starke stetige Selbsterregung.- a) Durch Quadraturen lösbare Probleme.- b) Die Rayleighsche Gleichung und ihre Verallgemeinerung.- c) Die van der Polsche Gleichung.- 59. Relaxationsschwingungen.- a) Allgemeines.- b) Reibungsschwingungen.- c) Uhrpendel.- d) Unstetige Regelungsvorgänge.- 60. Impulserregte Schwingungen.- II. Heteronome Bewegungen.- 61. Grundbegriffe.- § 1. Zwangsschwingungen.- 62. Das Problem von Duffing.- 63. Zwangsschwingungen mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung.- 64. Näherungslösungen durch endliche Summen trigonometrischer Funktionen.- 65. Das Näherungsverfahren von Galerkin.- 66. Das Verfahren der Störungsrechnung.- 67. Das Iterationsverfahren von Rauscher.- 68. Subharmonische Zwangsschwingungen.- a) Reine subharmonische Zwangsschwingungen.- b) Zwei Beispiele für unreine subharmonische Zwangsschwingungen.- 69. Stabilitätskriterien.- a) Stabilität harmonischer Zwangsschwingungen.- b) Stabilität subharmonischer Zwangsschwingungen.- c) Zurückführung auf eine Mathieusche Differentialgleichung.- 70. Zwangsschwingungen von Verbänden mit Selbsterregung.- 71. Zwei harmonische Zwangskräfte.- § 2. Parametererregte Schwingungen.- 72. Allgemeine Übersicht.- 73. Das Pendel mit oszillierendem Aufhängepunkt.- 74. Ein Näherungsverfahren für schwache Parametererregung.- 75. Eine Anwendung des Näherungsverfahrens.- 76. Beispiele.- a) Schwingungen durch oszillierende Steifigkeit.- ?) Drehschwingungen.- ?) Biegeschwingungen.- b) Schwingungen durch oszil…