Matrizentheorie

12.1. 1. In diesem Kapitel wird folgende Frage behandelt: Gegeben seien vier Matnzen A, B, A1, B1 gleichen Typs (m, n) mit Elementen aus e~nem Zahlkorper K. Gesucht s~nd die Bedingungen, unter denen zwei regulare quadra t~8che Matrizen P und Q der Ordnung m bzw. n existieren derart, dafJ gleichzeitig (1) giU. 1) Fuhrt man die Matrizenbuschel A + J..B und A1 + J..B ein, so k6nnen die beiden 1 Matrizengleichungen (1) durch die einzige Gleichung (2) P(A + J..B) Q = A1 + J..B1 ersetzt werden. Definition 1. Wir nennen zwei Buschel A + J..B und A1 + J..B rechteckiger Ma 1 trizen gleichen Typs (m, n) streng aquivalent, wenn fUr sie die Gleichung (2) gilt und dabei P und Q konstante (d. h. von J.. unabhiingige) regulare quadratische Matrizen 2 (m-ter bzw. n-ter Ordnung) sind. ) Nach der allgemeinen Definition, der Aquivalenz von Polynommatrizen (vgl.

Inhalt
Erster Teil: Allgemeine Theorie.- 1. Matrizen und Matrizenoperationen.- 1.1. Definition der Matrix. Bezeichnungen.- 1.2. Addition und Multiplikation von Matrizen.- 1.3. Quadratische Matrizen.- 1.4. Assoziierte Matrizen. Minoren inverser Matrizen.- 1.5. Inversion rechteckiger Matrizen. Die pseudoinverse Matrix.- 2. Der Gaußsche Algorithmus.- 2.1. Die Gaußsche Eliminationsmethode.- 2.2. Eine mechanische Interpretation des Gaußschen Algorithmus.- 2.3. Der Sylvestersche Determinantensatz.- 2.4. Zerlegung quadratischer Matrizen in Produkte von Dreiecksmatrizen.- 2.5. Übermatrizen. Das Rechnen mit Übermatrizen. Der verallgemeinerte Gaußsche Algorithmus.- 3. Lineare Operatoren im n-dimensionalen Vektorraum.- 3.1. Vektorräume.- 3.2. Lineare Operatoren, die einen n-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen Vektorraum abbilden.- 3.3. Addition und Multiplikation linearer Operatoren.- 3.4. Koordinatentransformationen.- 3.5. Äquivalente Matrizen. Der Rang eines Operators. Die Sylvestersche Ungleichung.- 3.6. Lineare Operatoren, die einen n-dimensionalen Vektorraum in sich abbilden.- 3.7. Charakteristische Wurzeln und Eigenvektoren linearer Operatoren.- 3.8. Lineare Operatoren einfacher Struktur.- 4. Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom einer Matrix.- 4.1. Addition und Multiplikation von Matrizenpolynomen.- 4.2. Rechte und linke Division von Matrizenpolynomen. Der verallgemeinerte Bezoutsche Satz.- 4.3. Das charakteristische Polynom einer Matrix. Adjungierte Matrizen.- 4.4. Die Methode von D. K. Faddeev zur gleichzeitigen Berechnung des charakteristischen Polynoms und der adjungierten Matrix.- 4.5. Das Minimalpolynom einer Matrix.- 5. Matrizenfunktionen.- 5.1. Definition der Matrizenfunktion.- 5.2. Das Lagrange-Sylvestersche Interpolationspolynom.- 5.3. Andere Wege zur Bestimmung von f(A). Die Komponenten der Matrix A.- 5.4. Darstellung von Funktionen durch Matrizenreihen.- 5.5. Einige Eigenschaften von Matrizenfunktionen.- 5.6. Die Anwendung der Matrizenfunktionen zur Integration linearer Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten.- 5.7. Stabilität im Fall linearer Systeme.- 6. Äquivalente Transformationen von Polynommatrizen. Analytische Elementarteilertheorie.- 6.1. Elementare Transformationen von Polynommatrizen.- 6.2. Die kanonische Form einer ?-Matrix.- 6.3. Invariantenteiler und Elementarteiler von Polynommatrizen.- 6.4. Äquivalenz linearer Binome.- 6.5. Kriterien für die Ähnlichkeit von Matrizen.- 6.6. Normalformen von Matrizen.- 6.7. Die Elementarteiler der Matrix f(A).- 6.8. Eine Methode zur Konstruktion der Transformationsmatrix.- 6.9. Eine weitere Methode zur Konstruktion der Transformationsmatrix.- 7. Die Struktur linearer Operatoren im n-dimensionalen Vektorraum. Geometrische Elementarteilertheorie.- 7.1. Das Minimalpolynom eines Vektors bzw. eines Vektorraumes (bezüglich eines gegebenen linearen Operators).- 7.2. Die Zerlegung eines Vektorraumes in invariante Unterräume mit teilerfremden Minimalpolynomen.- 7.3. Kongruenzen. Quotientenräume.- 7.4. Die Zerlegung eines Vektorraumes in zyklische invariante Unterräume.- 7.5. Normalformen einer Matrix.- 7.6. Invariantenteiler. Elementarteiler.- 7.7. Die Jordansche Normalform einer Matrix.- 7.8. Die Methode von A. N. Krylov zur Transformation der Säkulargleichung.- 8. Matrizengleichungen.- 8.1. Die Gleichung AX = XB.- 8.2. Der Spezialfall A = B. Vertauschbare Matrizen.- 8.3. Die Gleichung AX XB = C.- 8.4. Die skalare Gleichung f(X) = 0.- 8.5. Gleichungen von Matrizenpolynomen.- 8.6. Die m-ten Wurzeln regulärer Matrizen.- 8.7. Die m-ten Wurzeln singulärer Matrizen.- 8.8. Der Logarithmus einer Matrix.- 9. Lineare Operatoren im unitären Raum.- 9.1. Vorbemerkungen.- 9.2. Metrische Räume.- 9.3. Die Gramsche Determinante.- 9.4. Orthogonalprojektionen.- 9.5. Die geometrische Bedeutung der Gramschen Determinante.- 9.6. Orthogonalisierung.- 9.7. Orthonormalbasen.- 9.8. Adjungierte Operatoren.- 9.9. Normale Operatoren im unitären Raum.- 9.10. Spektren normaler, hermitescher und unitärer Operatoren.- 9.11. Positiv semidefinite und positiv definite hermitesche Operatoren.- 9.12. Polare Zerlegung linearer Operatoren im unitären Raum. Cayleysche Formeln.- 9.13. Lineare Operatoren im euklidischen Raum.- 9.14. Die polare Zerlegung linearer Operatoren und die Cayleyschen Formeln im euklidischen Raum.- 9.15. Vertauschbare normale Operatoren.- 9.16. Der pseudoinverse Operator.- 10. Quadratische und hermitesche Formen.- 10.1. Lineare Transformationen quadratischer Formen.- 10.2. Die Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten Das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen.- 10.3. Die Methode von Lagrange zur Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten. Die Jacobische Gleichung.- 10.4. Semidefinite und definite quadratische Formen.- 10.5. Die Hauptachsentransformation quadratischer Formen.- 10.6. Formenbüschel.- 10.7. Extremaleigenschaften der charakteristischen Wurzeln regulärer Formenbüschel.- 10.8. Kleine Schwingungen von Systemen mit n Freiheitsgraden.- 10.9. Hermitesche Formen.- 10.10. Hankelsche Formen.- Zweiter Teil: Spezielle Fragen und Anwendungen.- 11. Komplexe symmetrische, schief symmetrische und orthogonale Matrizen.- 11.1. Einige Sätze über komplexe orthogonale und unitäre Matrizen.- 11.2. Die polare Zerlegung einer komplexen Matrix.- 11.3. Normalformen komplexer symmetrischer Matrizen.- 11.4. Normalformen komplexer schiefsymmetrischer Matrizen.- 11.5. Normalformen komplexer orthogonaler Matrizen.- 12. Singuläre Matrizenbüschel.- 12.1. Einführung.- 12.2. Reguläre Matrizenbüschel.- 12.3. Singuläre Büschel.- 12.4. Die kanonische Form singulärer Matrizenbüschel.- 12.5. Die minimalen Indizes eines Büschels. Ein Kriterium für die strenge Äquivalenz von Matrizenbüscheln.- 12.6. Singuläre Büschel quadratischer Formen.- 12.7. Anwendungen in der Theorie der Differentialgleichungen.- 13. Matrizen mit nichtnegativen Elementen.- 13.1. Allgemeine Eigenschaften.- 13.2. Spektraleigenschaften unzerlegbarer nichtnegativer Matrizen.- 13.3. Zerlegbare Matrizen.- 13.4. Die Normalform einer zerlegbaren Matrix.- 13.5. Primitive und imprimitive Matrizen.- 13.6. Stochastische Matrizen.- 13.7. Grenzwahrscheinlichkeiten homogener Markovscher Ketten mit endlich vielen Zuständen.- 13.8. Vollständig nichtnegative Matrizen.- 13.9. Oszillationsmatrizen.- 14. Verschiedene Regularitätskriterien und die Lokalisierung der charakteristischen Wurzeln.- 14.1. Das Regularitätskriterium von Hadamard und seine Verallgemeinerungen.- 14.2. Die Norm einer Matrix.- 14.3. Die Verallgemeinerung des Hadamardschen Kriteriums auf Übermatrizen.- 14.4. Das Regularitätskriterium von Fiedler.- 14.5. Die Gergorinschen Kreise und andere Lokalisierungsgebiete.- 15. Anwendungen der Matrizenrechnung zur Untersuchung linearer Differentialgleichungssysteme.- 15.1. Systeme linearer Differentialgleichungen mit stetigen Koeffizienten. Grundbegriffe.- 15.2. Die Ljapunovsche Transformation.- 15.3. Reduzierbare Systeme.- 15.4. Die kanonische Form reduzierbarer Systeme. Der Satz von Erugin.- 15.5. Der Matrizant.- 15.6. Das Produktintegral. Der…