Vorlesungen über höhere Mathematik

IV wurf nicht erspart werden, daB sie zu lange gebraucht haben, urn diese Tat sache richtig zu erkennen und vor allem, urn die richtigen Konsequenzen daraus zu ziehen. Auch an den osterreichischen technischen Hochschulen, die hin sichtlich der Ausbildung ihrer Absolventen nieht nur in den praktischen, sondern vor allem auch in den theoretischen Fachern stets einen recht guten Ruf hatten, hat man in der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen Zahl und AusmaB der rein praktischen Vorlesungen auf Kosten der theoretischen Facher immer mehr vergroBert. Das stand aber in direktem Gegensatz zu den Erfordernissen der industriellen Praxis, und das Ergebnis war, daB die Industrie fUr die wissen schaftliche Arbeit in steigendem MaBe Universitatsabsolventen heranzog, weil sie eben auf die praktische Ausbildung eher verzichten konnte als auf die theo retische. Es war hochste Zeit, hier eineUmkehr einzuleiten, sollten die technischen Hochschulen nieht gegeniiber den Universitaten einerseits und den technischen Mittelschulen anderseits ilire Existenzberechtigung iiberhaupt verlieren. Die Wiener Hochschule hat jedenfaHs die Gelegenheit, die sich vor vier Jahren bot, geniitzt und eine weitgehende Reform des Studienplanes zugunsten der 'grundlegenden Facher durchgefUhrt; sie ist damit aus einer besseren Fachschule wieder eine wissenschaftliche Lehr-und Forschungsstatte geworden. Darin also besteht meine Rechtfertigung dafiir, daB ich diese Vorlesungen in Buchform herausgebe. Bei einem solchen Vorhaben ist natiirlich ein einwand freies Herausarbeiten der grundlegenden Begriffe ganz besonders geboten. Ich habe gesagt, daB der moderne Techniker ein guter Mathematiker sein muB.

Inhalt
I. Zahlen und Zahlenfolgen.- § 1. Der Zahlbegriff.- 1. Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion.- 2. Die ganzen und die rationalen Zahlen. Ziffernsysteme.- 3. Die irrationalen und die reellen Zahlen.- 4. Die komplexen Zahlen.- 5. Vorzeichen und absoluter Betrag.- 6. Die Fakultät.- 7. Die Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.- 8. Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.- § 2. Punkt- und Zahlenmengen.- 1. Der Mengenbegriff.- 2. Die Zahlengerade.- 3. Einige wichtige Begriffe und Sätze aus der Lehre von den linearen Punktmengen.- 4. Abzählbare Mengen.- 5. Der Dedekindsche Schnitt und die Definition der irrationalen Zahlen.- *6. Schnitte in der Menge der reellen Zahlen.- *7. Untere und obere Grenze einer Menge.- *8. Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstrass.- § 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert.- 1. Begriff der Folge. Beispiele.- 2. Konvergente und divergente Folgen. Der Grenzwert einer konvergenten Folge.- 3. Sätze über konvergente Folgen. Monotone Folgen.- 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 5. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 6. Die Intervallschachtelung.- 7. Der Boreische Überdeckungssatz.- § 4. Spezielle Zahlenfolgen.- 1. Ein Hilfssatz.- 2. Die Potenz.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of a ,a >0 $$.- 5. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of v $$.- 6. Die Folge $$ {u_v} = 1 + \frac{1} {{1!}} + \frac{1} {{2!}} + ... + \frac{1} {{v!}} $$.- 7. Die Folge $$ {v_v} = {\left( {1 + \frac{1} {v}} \right)^v} $$.- 8. Das arithmetisch-geometrische Mittel.- § 5. Kombinatorik.- 1. Permutationen.- 2. Kombinationen ohne Wiederholung.- 3. Kombinationen mit Wiederholung.- 4. Variationen ohne Wiederholung.- 5. Variationen mit Wiederholung.- II. Der Funktionsbegriff.- § 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen.- 1. Cartesische Koordinaten in der Ebene.- 2. Cartesische Koordinaten im Raum.- 3. Der Begriff der Funktion.- 4. Beispiele.- 5. Gleichung und Identität.- 6. Einige Hinweise.- 7. Beschränkte Funktionen.- 8. Monotone Funktionen.- 9. Gerade und ungerade Funktionen.- 10. Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion.- 11. Implizite Funktionen.- 12. Einteilung der Funktionen einer Veränderlichen.- § 7. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes.- 2. Endgültige Definition des Grenzwertes einer Funktion.- 3. Zusammenhang mit dem Grenzwert von Zahlenfolgen.- 4. Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert.- 5. Uneigentliche Grenzwerte.- 6. Verhalten einer Funktion im Unendlichen.- 7. Zusammenfassung. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 8. Die Potenz mit rationalem Exponenten.- 9. Die Größenordnung von Funktionen.- 10. Das Rechnen mit Grenzwerten.- § 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften.- 1. Der Begriff der Stetigkeit.- 2. Einige Definitionen.- 3. Die Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.- 4. Beschränktheit der stetigen Funktionen.- 5. Der Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.- 6. Der Zwischenwertsatz (Satz von Bolzano).- 7. Die Eindeutigkeit der inversen Funktion.- 8. Gleichmäßige Stetigkeit.- 9. Funktionenfolgen.- 10. Gleichmäßige Konvergenz. Stetigkeit der Grenzfunktion.- 11. Die Regula falsi.- III. Integral und Ableitung..- § 9. Flächeninhalt und bestimmtes Integral.- 1. Allgemeines zum Begriff des Flächeninhalts.- 2. Normalbereiche.- 3. Das bestimmte Integral einer Funktion.- 4. Beweis der Ungleichung J ? J* Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen.- *6. Beweis der Beziehungen (8) bis (10).- § 10. Ergänzungen zum Integralbegriff.- 1. Sätze über bestimmte Integrale.- 2. Die Integrierbarkeit der monotonen Funktionen.- 3. Die Integrierbarkeit stückweise stetiger beschränkter Funktionen.- 4. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 5. Integration der Potenz mit rationalem Exponenten.- § 11. Die Ableitung oder der Differential quotient.- 1. Das Tangentenproblem.- 2. Differenzenquotient und Ableitung.- 3. Differenzierbarkeit und Stetigkeit.- 4. Die Bedeutung der Differentiale.- 5. Die Geschwindigkeit eines bewegten Punktes.- 6. Das Newtonsche Verfahren.- § 12. Regeln und Sätze der Differentialrechnung. Extrema.- 1. Differentiation einer Summe.- 2. Differentiation eines Produktes.- 3. Differentiation eines Quotienten.- 4. Differentiation zusammengesetzter Funktionen (Kettenregel).- 5. Differentiation der inversen Funktion.- 6. Differentiation der Potenz x? für rationale ?.- 7. Begriff des Extremums. Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer differenzierbaren Funktion.- 8. Bestimmung des größten, einem Kreis eingeschriebenen Rechtecks.- 9. Randextrema.- 10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 11. Der Satz von Rolle und der Beweis des Mittelwertsatzes.- 12. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 13. Lösung einer Gleichung f(x) = 0 durch Iteration.- § 13. Das unbestimmte Integral.- 1. Das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze.- 2. Die Ableitung eines bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze.- 3. Das unbestimmte Integral und der Fundamentalsatz der Integralrechnung.- 4. Eine Deutung der Integrationskonstanten.- 5. Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem Integral.- 6. Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals. Kurvenscharen.- 7. Begriff der Differentialgleichung.- 8. Differentiation und Integration als inverse Rechenoperationen.- 9. Physikalische Anwendungen.- 10. Graphische Integration.- 11. Graphische Differentiation.- § 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung.- 1. Einfachste Integrationsregeln.- 2. Bemerkung über die Systematik der Integration. Die Integrale der elementaren Funktionen.- 3. Partielle Integration.- 4. Rekursionsformeln.- 5. Transformation eines Integrals.- 6. Integrale gerader und ungerader Funktionen mit symmetrischem Integrationsbereich.- 7. Zusammenhang der Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit jenen der Integralrechnung.- 8. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 9. Integration und Differentiation konvergenter Funktionenfolgen.- § 15. Höhere Ableitungen.- 1. Begriff der höheren Ableitungen einer Funktion.- 2. Höhere Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion.- 3. Höhere Ableitungen der inversen Funktion.- 4. Höhere Ableitungen eines Produktes (Leibnizsche Formel).- 5. Ein zweiter Beweis des binomische…