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Vorlesungen über höhere Mathematik

  • Kartonierter Einband
  • 452 Seiten
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IV wurf nicht erspart werden, daB sie zu lange gebraucht haben, urn diese Tat sache richtig zu erkennen und vor allem, urn die ric... Weiterlesen
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Beschreibung

IV wurf nicht erspart werden, daB sie zu lange gebraucht haben, urn diese Tat sache richtig zu erkennen und vor allem, urn die richtigen Konsequenzen daraus zu ziehen. Auch an den osterreichischen technischen Hochschulen, die hin sichtlich der Ausbildung ihrer Absolventen nieht nur in den praktischen, sondern vor allem auch in den theoretischen Fachern stets einen recht guten Ruf hatten, hat man in der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen Zahl und AusmaB der rein praktischen Vorlesungen auf Kosten der theoretischen Facher immer mehr vergroBert. Das stand aber in direktem Gegensatz zu den Erfordernissen der industriellen Praxis, und das Ergebnis war, daB die Industrie fUr die wissen schaftliche Arbeit in steigendem MaBe Universitatsabsolventen heranzog, weil sie eben auf die praktische Ausbildung eher verzichten konnte als auf die theo retische. Es war hochste Zeit, hier eineUmkehr einzuleiten, sollten die technischen Hochschulen nieht gegeniiber den Universitaten einerseits und den technischen Mittelschulen anderseits ilire Existenzberechtigung iiberhaupt verlieren. Die Wiener Hochschule hat jedenfaHs die Gelegenheit, die sich vor vier Jahren bot, geniitzt und eine weitgehende Reform des Studienplanes zugunsten der 'grundlegenden Facher durchgefUhrt; sie ist damit aus einer besseren Fachschule wieder eine wissenschaftliche Lehr-und Forschungsstatte geworden. Darin also besteht meine Rechtfertigung dafiir, daB ich diese Vorlesungen in Buchform herausgebe. Bei einem solchen Vorhaben ist natiirlich ein einwand freies Herausarbeiten der grundlegenden Begriffe ganz besonders geboten. Ich habe gesagt, daB der moderne Techniker ein guter Mathematiker sein muB.

Inhalt

I. Zahlen und Zahlenfolgen.- § 1. Der Zahlbegriff.- 1. Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion.- 2. Die ganzen und die rationalen Zahlen. Ziffernsysteme.- 3. Die irrationalen und die reellen Zahlen.- 4. Die komplexen Zahlen.- 5. Vorzeichen und absoluter Betrag.- 6. Die Fakultät.- 7. Die Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.- 8. Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.- § 2. Punkt- und Zahlenmengen.- 1. Der Mengenbegriff.- 2. Die Zahlengerade.- 3. Einige wichtige Begriffe und Sätze aus der Lehre von den linearen Punktmengen.- 4. Abzählbare Mengen.- *5. Der Dedekindsche Schnitt und die Definition der irrationalen Zahlen.- *6. Schnitte in der Menge der reellen Zahlen.- *7. Untere und obere Grenze einer Menge.- *8. Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstrass.- § 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert.- 1. Begriff der Folge. Beispiele.- 2. Konvergente und divergente Folgen. Der Grenzwert einer konvergenten Folge.- 3. Sätze über konvergente Folgen. Monotone Folgen.- 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 5. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 6. Die Intervallschachtelung.- 7. Der Boreische Überdeckungssatz.- § 4. Spezielle Zahlenfolgen.- 1. Ein Hilfssatz.- 2. Die Potenz.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of a ,a >0 $$.- 5. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of v $$.- 6. Die Folge $$ {u_v} = 1 + \frac{1} {{1!}} + \frac{1} {{2!}} + ... + \frac{1} {{v!}} $$.- 7. Die Folge $$ {v_v} = {\left( {1 + \frac{1} {v}} \right)^v} $$.- 8. Das arithmetisch-geometrische Mittel.- § 5. Kombinatorik.- 1. Permutationen.- 2. Kombinationen ohne Wiederholung.- 3. Kombinationen mit Wiederholung.- 4. Variationen ohne Wiederholung.- 5. Variationen mit Wiederholung.- II. Der Funktionsbegriff.- § 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen.- 1. Cartesische Koordinaten in der Ebene.- 2. Cartesische Koordinaten im Raum.- 3. Der Begriff der Funktion.- 4. Beispiele.- 5. Gleichung und Identität.- 6. Einige Hinweise.- 7. Beschränkte Funktionen.- 8. Monotone Funktionen.- 9. Gerade und ungerade Funktionen.- 10. Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion.- 11. Implizite Funktionen.- 12. Einteilung der Funktionen einer Veränderlichen.- § 7. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes.- 2. Endgültige Definition des Grenzwertes einer Funktion.- 3. Zusammenhang mit dem Grenzwert von Zahlenfolgen.- 4. Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert.- 5. Uneigentliche Grenzwerte.- 6. Verhalten einer Funktion im Unendlichen.- 7. Zusammenfassung. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 8. Die Potenz mit rationalem Exponenten.- 9. Die Größenordnung von Funktionen.- 10. Das Rechnen mit Grenzwerten.- § 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften.- 1. Der Begriff der Stetigkeit.- 2. Einige Definitionen.- 3. Die Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.- 4. Beschränktheit der stetigen Funktionen.- 5. Der Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.- 6. Der Zwischenwertsatz (Satz von Bolzano).- 7. Die Eindeutigkeit der inversen Funktion.- 8. Gleichmäßige Stetigkeit.- 9. Funktionenfolgen.- 10. Gleichmäßige Konvergenz. Stetigkeit der Grenzfunktion.- 11. Die Regula falsi.- III. Integral und Ableitung..- § 9. Flächeninhalt und bestimmtes Integral.- 1. Allgemeines zum Begriff des Flächeninhalts.- 2. Normalbereiche.- 3. Das bestimmte Integral einer Funktion.- 4. Beweis der Ungleichung J* ? J* Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen.- *6. Beweis der Beziehungen (8) bis (10).- § 10. Ergänzungen zum Integralbegriff.- 1. Sätze über bestimmte Integrale.- 2. Die Integrierbarkeit der monotonen Funktionen.- 3. Die Integrierbarkeit stückweise stetiger beschränkter Funktionen.- 4. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 5. Integration der Potenz mit rationalem Exponenten.- § 11. Die Ableitung oder der Differential quotient.- 1. Das Tangentenproblem.- 2. Differenzenquotient und Ableitung.- 3. Differenzierbarkeit und Stetigkeit.- 4. Die Bedeutung der Differentiale.- 5. Die Geschwindigkeit eines bewegten Punktes.- 6. Das Newtonsche Verfahren.- § 12. Regeln und Sätze der Differentialrechnung. Extrema.- 1. Differentiation einer Summe.- 2. Differentiation eines Produktes.- 3. Differentiation eines Quotienten.- 4. Differentiation zusammengesetzter Funktionen (Kettenregel).- 5. Differentiation der inversen Funktion.- 6. Differentiation der Potenz x? für rationale ?.- 7. Begriff des Extremums. Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer differenzierbaren Funktion.- 8. Bestimmung des größten, einem Kreis eingeschriebenen Rechtecks.- 9. Randextrema.- 10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 11. Der Satz von Rolle und der Beweis des Mittelwertsatzes.- 12. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 13. Lösung einer Gleichung f(x) = 0 durch Iteration.- § 13. Das unbestimmte Integral.- 1. Das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze.- 2. Die Ableitung eines bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze.- 3. Das unbestimmte Integral und der Fundamentalsatz der Integralrechnung.- 4. Eine Deutung der Integrationskonstanten.- 5. Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem Integral.- 6. Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals. Kurvenscharen.- 7. Begriff der Differentialgleichung.- 8. Differentiation und Integration als inverse Rechenoperationen.- 9. Physikalische Anwendungen.- 10. Graphische Integration.- 11. Graphische Differentiation.- § 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung.- 1. Einfachste Integrationsregeln.- 2. Bemerkung über die Systematik der Integration. Die Integrale der elementaren Funktionen.- 3. Partielle Integration.- 4. Rekursionsformeln.- 5. Transformation eines Integrals.- 6. Integrale gerader und ungerader Funktionen mit symmetrischem Integrationsbereich.- 7. Zusammenhang der Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit jenen der Integralrechnung.- 8. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 9. Integration und Differentiation konvergenter Funktionenfolgen.- § 15. Höhere Ableitungen.- 1. Begriff der höheren Ableitungen einer Funktion.- 2. Höhere Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion.- 3. Höhere Ableitungen der inversen Funktion.- 4. Höhere Ableitungen eines Produktes (Leibnizsche Formel).- 5. Ein zweiter Beweis des binomischen Satzes.- IV. Die elementaren transzendenten Funktionen..- §16. Logarithmus und Exponentialfunktion.- 1. Das Integral $$ \int\limits_1^x {\frac{{du}} {u}} $$.- 2. Der natürliche Logarithmus.- 3. Die natürliche.- 1 Exponentialfunktion.- 4. Die allgemeine Exponentialfunktion.- 5. Die allgemeine Potenz.- 6. Der allgemeine Logarithmus.- 7. Grenzwerte, die mit Logarithmus und Exponentialfunktion zusammenhängen.- 8. Logarithmische Differentiation.- 9. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion.- 10. Stetige Verzinsung.- 11. Zerfall der radioaktiven Substanzen.- 12. Stromverlauf beim Ein-und Ausschalten eines elektrischen Stromkreises.- 13. Funktionsskala und Rechenschieber.- § 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen.- 1. Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels.- 2. Definition der Kreisfunktionen.- 3. Die Additionstheoreme.- 4. Die harmonische Schwingung.- 5. Differentiation und Integration der Kreisfunktionen.- 6. Definition der zyklometrischen Funktionen.- 7. Differentiation der zyklometrischen Funktionen.- 8. Polarkoordinaten in der Ebene.- 9. Polarkoordinaten im Raum.- 10. Zylinderkoordinaten.- 11. Transformation rechtwinkeliger Koordinaten in der Ebene.- §18. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen.- 1. Definition der Hyperbelfunktionen.- 2. Geometrische Deutung.- 3. Additionstheoreme und verwandte Formeln.- 4. Differentiation und Integration der Hyperbelfunktionen.- 5. Die Umkehrfunktionen.- 6. Die Integrale $$ {J_1} = \int {\frac{{dx}} {{a{x^2} + bx + c}}} $$ und $$ {J_2} = \int {\frac{{dx}} {{\sqrt {a{x^2} + bx} + c}}} $$.- V. Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung.- §19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene.- 1. Die Parameterdarstellung einer Kurve.- 2. Differentiation einer Funktion in Parameterdarstellung. Glatte und stückweise glatte Kurven.- 3. Vektoren in der Ebene.- 4. Beispiele.- 5. Der Beschleunigungsvektor.- 6. Rationale Kurven.- § 20. Unbestimmte Formen.- 1. Grenzwert eines Quotienten, wenn Zähler und Nenner verschwinden (Bernoullische Regel).- 2. Unbestimmte Formen.- 3. Der Fall $$ \frac{\infty } {\infty } $$.- 4. Der Fall 0. ?.- 5. Die Fälle I?, 0° und ?°.- 6. Der Fall ? - ?.- 7. Die Ordnung der Nullstellen und ?-Stellen von Exponentialfunktion und Logarithmus.- § 21. Uneigentliche Integrale.- 1. Integrale mit nicht beschränktem Integranden.- 2. Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz.- 3. Uneigentliche Integrale mit nicht beschränktem Integrationsbereich.- 4. Beispiele.- § 22. Die Taylorsche Formel.- 1. Die Taylorsche Formel für ein Polynom.- 2. Die Taylorsche Formel für eine beliebige Funktion.- 3. Darstellung des Restgliedes durch ein Integral.- 4. Abschätzung des Restgliedes.- 5. Die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines Punktes.- 6. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Extremum einer Funktion von einer Veränderlichen.- 7. Bemerkungen über die Taylorschen Polynome und die Berührung von Kurven.- § 23. Die Formeln von Wallis und Stirling.- 1. Die Formeln von Wallis.- 2. Die Formel von Stirling.- 3. Beweis der Stirlingschen Formel.- 4. Das Integral $$ \int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}} dx $$.- § 24. Der Flächeninhalt ebener Bereiche.- 1. Zurückführung auf Normalbereiche.- 2. Der Flächeninhalt als Kurvenintegral.- 3. Beispiele.- 4. Weitere Formeln für den Flächeninhalt.- 5. Die Invarianz des Flächeninhalts.- 6. Flächeninhalt in Polarkoordinaten.- § 25. Die Bogenlänge einer Kurve.- 1. Begriff der Bogenlänge.- 2. Darstellung der Bogenlänge durch ein bestimmtes Integral.- 3. Das Bogenelement.- 4. Die Bogenlänge in Polarkoordinaten.- 5. Beispiele.- § 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik.- 1. Das Volumen eines Drehkörpers und der Inhalt einer Drehfläche.- 2. Statisches Moment und Schwerpunkt eines ebenen Bereiches.- 3. Statisches Moment und Schwerpunkt eines Kurvenbogens.- 4. Das statische Moment eines Drehkörpers.- 5. Trägheitsmoment ebener Bereiche und Kurvenbogen.- 6. Beispiele.- 7. Das Stieltjes-Integral.- § 27. Numerische Integration.- 1. Die Rechtecksformeln.- 2. Die Trapezformeln.- 3. Keplers Faßregel und die Simpsonsche Formel.- 4. Fehlerabschätzung.- § 28. Die komplexen Zahlen.- 1. Die Gaußsche Zahlenebene.- 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen.- 3. Die Formeln von Moivre und Euler.- 4. Folgerungen aus der Eulerschen Formel.- 5. Darstellung der zyklometrischen Funktionen durch Logarithmen.- VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.- § 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Nullstellen eines Polynoms und Wurzeln einer Gleichung.- 3. Nullstellen reeller Polynome.- 4. Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome. Mehrfache Nullstellen.- 5. Das Hornersche Divisionsverfahren.- 6. Das graphische Verfahren von Lill.- § 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen.- 1. Begriff der Interpolation. Die lineare Interpolation.- 2. Die Lagrangesche Interpolationsformel.- 3. Steigungen und Steigungsschema.- 4. Die Newtonsche Interpolationsformel.- 5. Fehlerabschätzung. Die Taylorsche Formel als Sonderfall der Newtonschen Interpolationsformel.- 6. Die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe.- 7. Die Newtonsche Formel für äquidistante Argumente. Das Differenzenschema.- § 31. Algebraische Gleichungen.- 1. Allgemeines.- 2. Die reine Gleichung und die Kreisteilung.- 3. Die kubische Gleichung.- 4. Die biquadratische Gleichung.- 5. Reziproke Gleichungen.- § 32. Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Die Cartesische Zeichenregel.- 3. Schranken für die Wurzeln.- 4. Trennung der Wurzeln und numerische Auflösung.- 5. Das Graeffesche Verfahren.- § 33. Die rationalen Funktionen und ihre Integration.- 1. Rationale Funktionen.- 2. Die Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion.- 3. Die Integration der rationalen Funktionen.- 4. Abelsche Integrale.- 5. Die quadratische Irrationalität.- 6. Zwei Sonderfälle.- 7. Die bilineare Irrationalität.- 8. Binomische Integrale.- 9. Integration gewisser transzendenter Funktionen.- VII. Unendliche Reihen.- § 34. Konvergenz und Divergenz der Reihen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.- 3. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 4. Das Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen.- 5. Absolut konvergente Reihen.- 6. Das Rechnen mit Reihen.- 7. Unbedingt und bedingt konvergente Reihen.- 8. Multiplikation von Reihen.- 9. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- § 35. Konvergenzkriterien.- 1. Reihenvergleichung.- 2. Das Quotientenkriterium.- 3. Die binomische Reihe.- 4. Das Wurzelkriterium.- 5. Die Reihe $$ \sum\limits_{v = 1}^\infty {\frac{1} {{{v^\alpha }}}} $$ mit ?> 0.- § 36. Reihen und Funktionen.- 1. Gleichmäßige Konvergenz.- 2. Stetigkeit der Summenfunktion.- 3. Integration unendlicher Reihen.- 4. Differentiation unendlicher Reihen.- § 37. Potenzreihen.- 1. Der Fundamentalsatz über Potenzreihen.- 2. Bestimmung des Konvergenzradius nach Cauchy.- 3. Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen.- 4. Die Taylorsche Reihe.- 5. Die Methode des unbestimmten Ansatzes.- 6. Noch einmal die binomische Reihe.- § 38. Reihenentwicklung der elementaren Funktionen.- 1. Die geometrische Reihe.- 2. Die logarithmische Reihe.- 3. Die Reihe für arctan x.- 4. Die Expon entialreihe.- 5. Die Reihen für sin x, cos x, sh x und ch x.- § 39. Fouriersche Reihen.- 1. Periodische Funktionen und harmonische Analyse.- 2. Trigonometrische Reihen.- 3. Fouriersche Reihen.- *4. Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion mit beschränkter und stückweise stetiger Ableitung.- *5. Darstellbarkeit einer solchen Funktion durch ihre Fourierreihe.- *6. Fouriersche Reihen unstetiger Funktionen.- 7. Ergänzende Bemerkungen. Beispiele.- 8. Die Partialbruchzerlegung des Cotangens und die Produktentwicklung des Sinus.- 9. Das Gibbssche Phänomen.- 10. Trigonometrische Interpolation.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis (Biographische Notizen).

Produktinformationen

Titel: Vorlesungen über höhere Mathematik
Untertitel: Erster Band Integration und Differentiation der Funktionen einer Veränderlichen. Anwendungen. Numerische Methoden. Algebraische Gleichungen. Unendliche Reihen
Autor:
EAN: 9783709176924
ISBN: 978-3-7091-7692-4
Format: Kartonierter Einband
Herausgeber: Springer Vienna
Genre: Analysis
Anzahl Seiten: 452
Gewicht: 755g
Größe: H244mm x B172mm x T27mm
Jahr: 2012
Auflage: 4. Aufl. 1965. Softcover reprint of the original 4

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