Vorlesungen über höhere Mathematik

Mit diesem vierten Band ist das Gesamtwerk Duseheks "Vorlesungen tiber hahere Mathematik" abgesehlossen. Das Manuskript stammte aus dem Naeh laB des 1957 verstorbenen Verfassers. Es ist durehgesehen, aber (mit Ausnahme der Aufgaben zu den Absehnitten Integralgleichungen,
5 und 6, und Potential theorie,
14 bis 20) absiehtlieh nieht erganzt worden. So zeiehnet aueh diesen Band der Originalstil des Verfassers aus, dessen Darstellungskunst den erst en Banden einen rasehen und durehsehlagenden Erfolg im ganzen deutsehen Spraehgebiet und dartiber hinaus versehafft hat. Wien, im Herbst 1961. Der Verlag. Inhaltsverzeichnis. 1. Erganzungen aus der reellen Analysis. Seile

1. Funktionen von beschrankter Variation. Stieltjesintegrale .................... . 1. Klassen reeller Funktionen. - 2. Funktionen von beschrankter Variation. - 3. Rektifizierbare Kurven. - 4. Der Integralbegriff von STIELTJES. - 5. Folge rungen und Anwendungen.
2. Fourierreihen und Fouriersches Integraltheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II . . . . . 1. Summation unendlicher Reihen durch arithmetische Mittel. - 2. Der Satz von FE;ER. - 3. Der Satz von JORDAN. - 4. Der Approximationssatz von WEIERSTRASS. - 5. Das Fouriersche Integraltheorem. - 6. Das Dirichletsche Integral. - 7. Das Riemannsche Lemma. - 8. Folgerungen.
3. Asymptotische Entwicklungen. Die Eulersche Summenformel ................. 23 1. Eine Vorbemerkung. - 2. Asymptotische Darstellungen. - 3. Die Kon vergenzfrage. - 4. Das Rechnen mit asymptotischen Reihen. - 5. Differentiation und Integration asymptotischer Reihen. - 6. Bernoullische Polynome. - 7. Null stellen und Extrema der Bernoullischen Polyncme. - 8. Die Eulersche Summen formel. - 9. Die Eulersche Konstante. - ro. Die asymptotische Entwicklung der Fakultat z!.

Klappentext

Entwicklung der Fakultat z!.

Inhalt
I. Ergänzungen aus der reellen Analysis.- § 1. Funktionen von beschränkter Variation. Stieltjesintegrale.- 1. Klassen reeller Funktionen.- 2. Funktionen von beschränkter Variation.- 3. Rektifizierbare Kurven.- 4. Der Integralbegriff von Stieltjes.- 5. Folgerungen und Anwendungen.- § 2. Fourierreihen und Fouriersches Integraltheorem.- 1. Summation unendlicher Reihen durch arithmetische Mittel.- 2. Der Satz von Féjer.- 3. Der Satz von Jordan.- 4. Der Approximationssatz von Weierstrass.- 5. Das Fouriersche Integraltheorem.- 6. Das Dirichletsche Integral.- 7. Das Riemannsche Lemma.- 8. Folgerungen.- § 3. Asymptotische Entwicklungen. Die Eulersche Summenformel.- 1. Eine Vorbemerkung.- 2. Asymptotische Darstellungen.- 3. Die Konvergenzfrage.- 4. Das Rechnen mit asymptotischen Reihen.- 5. Differentiation und Integration asymptotischer Reihen.- 6. Bernoullische Polynome.- 7. Nullstellen und Extrema der Bernoullischen Polynome.- 8. Die Eulersche Summenformel.- 9. Die Eulersche Konstante.- 10. Die asymptotische Entwicklung der Fakultät z!.- § 4. Orthogonale Funktionensysteme.- 1. Begriff und Bedeutung.- 2. Ergänzungen. Die Schwarzsche Ungleichung.- 3. Orthogonalisierung gegebener Funktionenfolgen.- 4. Die Besselsche Ungleichung. Vollständige Funktionensysteme.- 5. Der Hilbertsche Raum und der Satz von Fischer-Riesz.- II. Integralgleichungen und Laplacetransformation.- § 5. Grundzüge der allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen zweiter Art.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Produktkerne. Die Fredholmschen Sätze.- 3. Der lösende Kern. Folgerungen für beliebige Kerne.- 4. Die Neumannsche Reihe.- 5. Zur Konvergenz der Neumannschen Reihe. Ein allgemeines Auflösungsverfahren.- 6. Die Neumannsche Reihe für die Volterrasche Integralgleichung.- 7. Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse.- 8. Das Fredholmsche Verfahren.- 9. Der Konvergenzbeweis.- 10. Folgerungen. Die Fredholmschen Sätze.- § 6. Symmetrische Kerne.- 1. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines symmetrischen Kerns.- 2. Die Existenz eines Eigenwertes.- 3. Die Berechnung des kleinsten Eigenwertes.- 4. Das Problem der Reihenentwicklung einer gegebenen Funktion nach den Funktionen eines Orthogonalsystems.- 5. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen der iterierten Kerne.- 6. Der Hilbertsche Entwicklungssatz.- 7. Anwendung auf die Lösung der inhomogenen Gleichung.- 8. Definite Kerne und der Mercersche Satz.- § 7. Ergänzungen.- 1. Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern.- 2. Enskogs Methode zur Auflösung der inhomogenen Integralgleichungen mit beliebigem Kern.- 3. Hilberts Methode der unendlich vielen Veränderlichen.- 4. Singuläre Integralgleichungen.- § 8. Die Laplacetransformation.- 1. Funktionaltransformationen.- 2. Konvergenzfragen.- 3. Die Bildfunktionen einiger einfacher Funktionen.- 4. Allgemeine Eigenschaften der Laplacetransformation.- 5. Die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.- 6. Der Faltungssatz.- 7. Partielle Differentialgleichungen.- 8. Die allgemeine Umkehrformel.- 9. Zur Berechnung des Integrals (66).- 10. Das Darstellungsproblem und der Eindeutigkeitssatz.- 11. Integralgleichungen vom Faltungstyp.- 12. Die Abelsche Integralgleichung.- 13. Entwicklung von f(t) für kleine Werte von t.- 14. Eine asymptotische Entwicklung von f(t) für große t.- III. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.- § 9. Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet.- 1. Vorbemerkungen. Existenz der Lösungen.- 2. Die Singularitäten der Lösungen.- 3. Stellen der Bestimmtheit.- 4. Reihenentwicklung der Lösungen in der Umgebung einer Stelle der Bestimmtheit.- 5. Die Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 6. Die Riemannsche und die hypergeometrische Differentialgleichung.- 7. Hypergeometrische Polynome.- 8. Stellen der Unbestimmtheit.- 9. Die konfluente hypergeometrische Funktion.- § 10. Randwertaufgaben zweiter Ordnung.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Selbstadjungierte Differentialausdrücke zweiter Ordnung.- 3. Die Nullstellen der Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung..- 4. Randwertaufgaben zweiter Ordnung.- 5. Eigenwerte und Eigenfunktionen der homogenen Randwertaufgaben zweiter Ordnung.- 6. Das Oszillationstheorem von F. Klein.- 7. Die Greensche Funktion.- 8. Die Lösung des inhomogenen Problems.- 9. Der Zusammenhang mit den linearen Integralgleichungen und der Entwicklungssatz.- 10. Die Greensche Funktion zweiter Art.- 11. Singularitäten am Rand.- § 11. Kugelfunktionen und Legendresche Polynome.- 1. Räumliche Kugelfunktionen.- 2. Kugelflächenfunktionen.- 3. Zonale Kugelfunktionen und Legendresche Polynome.- 4. Die erzeugende Funktion der Legendreschen Polynome. Rekursionsformeln.- 5. Integraldarstellungen.- 6. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen.- 7. Legendresche Funktionen zweiter Art.- 8. Ganze rationale räumliche Kugelfunktionen.- 9. Die numerische Quadratur von Gauss.- § 12. Die Besselschen Funktionen.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Darstellung der Lösungen durch bestimmte Integrale.- 3. Die Hankeischen Funktionen.- 4. Eine Integraldarstellung der Besselfunktion J(in?)(x).- 5. Zusammenhang mit den Hankeischen Funktionen.- 6. Die Rekursionsformeln.- 7. Die Integraldarstellung von Sommerfeld.- 8. Eine erzeugende Funktion bei ganzzahligem Index ?.- 9. Eine weitere Integraldarstellung der Hankeischen Funktionen.- 10. Asymptotische Entwicklungen.- 11. Das Sattelpunktsverfahren und die Formeln von Debye.- 12. Die Nullstellen der Besselfunktionen.- 13. Der Fall rein imaginärer Argumente.- § 13. Weitere spezielle Funktionen.- 1. Elliptische Koordinaten.- 2. Die Lamésche Differentialgleichung und die Laméschen Funktionen.- 3. Gestreckt-rotationselliptische Koordinaten.- 4. Abgeplattet-rotationselliptische Koordinaten.- 5. Elliptische Zylinderkoordinaten.- 6. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 7. Die Differentialgleichungen von Hill und Mathieu.- IV. Grundzüge der Potentialtheorie.- § 14. Die Newtonschen Potentiale.- 1. Die Laplacesche Differentialgleichung in der Ebene und im Raum.- 2. Die Spiegelung an Kreis und Kugel und das Verhalten harmonischer Funktionen im Unendlich…